Question

A distância de um ponto a uma reta é dada pela medida do segmento perpendicular que liga o ponto à reta. Sabendo disto, calcule a distância do ponto P (1,2) à reta r : x+2y+1=0 E represente geometricamente.

Answer 1

A menor distância entre um ponto e uma reta pode ser medida traçando uma reta s perpendicular a reta r e que passe pelo ponto P.

Se uma reta s = ax+b é perpendicular a reta r = cx + d então:

$a = -\frac{1}{c}$

r pode ser escrito pela equação:

$x+2y+1=0\\\\2y=-x-1\\\\y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\\\\c=-\frac{1}{2} \implies a = 2$

Agora devemos encontrar o valor de b, utilizando-se da informação que s passa pelo ponto (1,2)

$y = 2x + b\\\\2=2*1+b\\\\b=0\\\\\\s: y=2x$

Agora vamos descobrir o ponto de interseção entre as retas r e s

$\left \{ {{y=2x} \atop {y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}} \right.$

$2x = -\frac{1}{2}(x+1)\\\\-4x=x+1\\\\5x=-1\\\\x=-\frac{1}{5}\\\\y=2x\\\\y=-\frac{2}{5}$

Então o ponto de interseção tem coordenadas I(-0.2,-0.4)

Resta agora apenas encontrar a distância entre P e I.

$d(P,I)=\sqrt{(1-(-\frac{1}{5}))^2+(2-(-\frac{2}{5}))^2}\\\\d(P,r)=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{14}{5})^2}\\\\d(P,r) = \sqrt{\frac{36}{25}+\frac{196}{25}}\\\\d(P,r) = \sqrt{\frac{232}{25}}\\\\d(P,r)=\frac{1}{5}\sqrt{4*58}\\\\\boxed{d(P,r)=\frac{2}{5}\sqrt{58}}$