Question

A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse? e que ordem ele ocupa nesse número?

Alguém pode me ajudar?

Answer 1

Seja $x$ o algarismo procurado, e $x$ ocupa a ordem $n$ no número em questão. Sendo assim,

$x \in \left\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9 \right \}\\ \\ n \in \mathbb{N}$


Obs.: A ordem $n$ é contada da esquerda para a direita, assim:

$n=0 \Rightarrow \text{ordem das unidades}\\ \\ n=1 \Rightarrow \text{ordem das dezenas}\\ \\ n=2 \Rightarrow \text{ordem das centenas}\\ \\ \vdots$


O valor absoluto do algarismo $x$ é o próprio $x$:

$\mathrm{V.A.}\left(x \right )=x$


O valor relativo do algarismo $x$ depende da ordem $n$ que ele ocupa. Então, como o nosso sistema de numeração é decimal (base $10$), temos

$\mathrm{V.R.}\left(x \right )=x \cdot 10^{n}$

onde $n$ é a ordem ocupada pelo algarismo $x$.


A diferença entre o valor relativo e o valor absoluto de $x$ é igual a $396$:

$\mathrm{V.R.}\left(x \right )-\mathrm{V.A.}\left(x \right )=396\\ \\ x\cdot 10^{n}-x=396\\ \\ x \cdot \left(10^{n}-1 \right )=396\\ \\ x=\dfrac{396}{10^{n}-1}$

para algum $n \in \mathbb{N}$.


Da última igualdade, concluímos que $396$ deve ser divisível por $10^{n}-1$, para algum $n \in \mathbb{N}$. E, como $10^{n}-1$ é o denominador, este não pode ser igual a zero. Então, devemos ter

$10^{n}-1 > 0\\ \\ \Rightarrow 10^{n} > 1\\ \\ \Rightarrow 10^{n} > 10^{0}\\ \\ \Rightarrow n > 0\\ \\ n \in \mathbb{N^{*}}$


Assim, para $n$ assumindo valores inteiros positivos, percebemos que os números na forma $10^{n}-1$ são formados apenas pelo algarismo $9$. Observe:

$10^{n}-1 \in \left\{10^{1}-1,\,10^{2}-1,\,10^{3}-1,\,10^{4}-1,\,\ldots \right \}\\ \\ 10^{n}-1 \in \left\{10-1,\,100-1,\,1\,000-1,\,10\,000-1,\,\ldots \right \}\\ \\ 10^{n}-1 \in \left\{9,\,99,\,999,\,9\,999,\,\ldots \right \}$


Observando os divisores de $396$, vemos que o único divisor que possui a característica acima é o $99$. Então

$10^{n}-1=99\\ \\ 10^{n}=99+1\\ \\ 10^{n}=100\\ \\ 10^{n}=10^{2}\\ \\ \boxed{n=2 \Rightarrow \text{ordem das centenas}}$


Substituindo na equação, encontramos o valor de $x$:

$x=\dfrac{396}{10^{n}-1}\\ \\ x=\dfrac{396}{99}\\ \\ \boxed{x=4}$


Logo, o algarismo procurado é $4$, e ele ocupa a ordem das centenas. De fato, temos

$\mathrm{V.R.}\left(4 \right )-\mathrm{V.A.}\left(4 \right )\\ \\=4\cdot 10^{2}-4\\ \\ =400-4\\ \\ =396$