Question

A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos é 8. Se os dois polígonos tiverem o número de lados expresso por dois números inteiros consecutivos, a soma do número de lados dos dois polígonos é:

a) 9
b) 17
c) 19
d) 21

Answer 1

A quantidade de diagonais 'D' de um polígono de 'l' lados é dada pela fórmula:
$D=\dfrac{\ell(\ell-3)}{2}$

O enunciado nos diz que a diferença entre a quantidade de diagonais dos polígonos é 8 (D1 - D2 = 8) e que a a quantidade de lados dos polígonos são números consecutivos (l1 - l2 = 1).
Sistematizando:
$\begin{matrix}(1)\\\\\\(2)\end{matrix}\begin{cases}D_1-D_2=8\longrightarrow\dfrac{\ell_1(\ell_1-3)}{2}-\dfrac{\ell_2(\ell_2-3)}{2}=8\\\\\ell_1-\ell_2=1\end{cases}$

Temos um sistema de duas equações. Aplicando algebrismos calcularemos o valor de l1 + l2.
Da primeira equação:
$\dfrac{\ell_1(\ell_1-3)}{2}-\dfrac{\ell_2(\ell_2-3)}{2}=8\\\\\ell_1^2-3\ell_1-\ell_2^2+3\ell_2=16\\\\(\ell_1^2-\ell_2^2)-3(\ell_1-\ell_2)=16\\\\(\ell_1+\ell_2)(\ell_1-\ell_2)-3(\ell_1-\ell_2)=16$

De acordo com a segunda equação:
$\ell_1-\ell_2=1$

Substituindo:
$(\ell_1+\ell_2)(\ell_1-\ell_2)-3(\ell_1-\ell_2)=16\\\\(\ell_1+\ell_2)(1)-3(1)=16\\\\(\ell_1+\ell_2)-3=16\\\\\boxed{\ell_1+\ell_2=19}$

Alternativa a).