Question

a diferença entre o numero de arranjos de n objetos tomados 2 a 2 e o número de combinações desses mesmos objetos também tomados 2 a 2 é igual a 45. determine m

Answer 1

$A_{n,2}-C_{n,2}=45\\\\\frac{n!}{(n-2)!}-\frac{n!}{2!\cdot(n-2)!}=45\\\\\frac{n\cdot(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}-\frac{n\cdot(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}=45\\\\n\cdot(n-1)-\frac{n\cdot(n-1)}{2!}=45$

$n\cdot(n-1)\cdot2-n\cdot(n-1)=45\cdot2\\\\2(n^2-n)-(n^2-n)=90\\\\n^2-n=90\\\\n^2-n-90=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=1-4\cdot1\cdot(-90)\\\\\Delta=361\\\\n=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\\\\n=\frac{1\pm19}{2}\\\\\boxed{n_1=10}\\\\\boxed{n_2=-9}$

Como nesse caso n não admite uma raiz negativa, então:

$\boxed{\mathsf{S=\{10\}}}$