Question

A diferença entre dois números a e b reais é igual a x e o produto entre eles é igual a terça parte de x. O valor de (a/b + b/a) - 2 é:

Answer 1

Olá.

 

Temos uma questão de produtos notáveis.

 

O enunciado nos deu 3 equações, onde devemos resolver a 3ª. Escrevendo por extenso, temos:

 

$\begin{cases} \mathsf{1^{\circ}:}&\mathsf{a-b=x}\\\\ \mathsf{2^{\circ}:}&\mathsf{a\cdot b=\dfrac{x}{3}}\\\\ \mathsf{3^{\circ}:}&\mathsf{\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)-2=~?} \end{cases}$

 

Para resolver, o primeiro passo é deixar a 3ª equação em forma de uma fração com um único denominador. Para isso, o primeiro passo é igualar os denominador. Dentro dos parênteses, o denominador será o produto de a com b, ou seja, ab. O denominador do 2 também será ab. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)-2=}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{a\cdot a+b\cdot b}{ab}\right)-2=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a^2+b^2}{ab}-2\cdot\dfrac{ab}{ab}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a^2+b^2}{ab}-\dfrac{2ab}{ab}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}}$

 

O ponto principal dessa questão vem agora: o numerador dessa fração consiste em um produto notável chamado “quadrado de diferença de dois termos”. Esse produto notável é representado da seguinte maneira:

 

$\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

 

Organizando a nossa fração e a transformando em produto notável, podemos substituir valores e encontrar um valor final. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(a-b)^2}{ab}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(x)^2}{\left(\dfrac{x}{3}\right)}=}\\\\\\ \mathsf{x^2\div\left(\dfrac{x}{3}\right)=}\\\\\\ \mathsf{x^2\cdot\dfrac{3}{x}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{3x^2}{x}=3x^{2-1}=\boxed{\mathsf{3x}}}$

 

O resultado final dessa expressão é 3x.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$