Question

A diferença entre as medidas do ângulo interno e do ângulo externo de certo polígono regular é igual a 100º. Quantas diagonais esse polígono possui?

Answer 1

Resposta:

Esse polígono possui 27 diagonais.

Explicação passo-a-passo:

Sendo ∝ e β os ângulos internos e externos:

∝ + β =180° (somando os ângulos temos uma reta e ela tem 180°)

∝ - β =100°

Resolvendo o sistema

somando as duas equações:

2∝+β-β=280°

∝=280°/2

∝=140°

Substituindo ∝=140° em ∝ + β =180°

140°+ β =180°

β=180°-140°

β=40°

A soma dos ângulos internos Si de um polígono regular:

Si=(n-2).180°, onde n = número de lados

O ângulo interno de um polígono:

Φ=Si/n

Φ=(n-2).180°/n (I)

Considerando β como sendo o ângulo interno. Fazendo β=Φ=40° e substituindo em (I)

40°=(n-2).180°/n

40°n=180°n-360°

140°n=360°

n=360°/140°≅2,57 (descartar essa solução porque o número de lados tem que ser um número inteiro)

Considerando ∝ como sendo o ângulo interno. Fazendo ∝=Φ=140° e substituindo em (I)

140°=(n-2).180°/n

140°n=180°n-360°

40°n=360°

n=360°/40°

n=9

O número de diagonais (d) de um polígono de lado n:

d=n(n-3)/2

d=9(9-3)/2

d=9.6/2

d=9.3

d=27 diagonais