Question

A diferença entre a maior e a menor raiz da equação (2x-√2+1).(2x-√2-1)=4x-√8 é igual a:

Answer 1

$(2x-\sqrt{2}+1)*(2x- \sqrt{2}-1)= 4x- \sqrt{8}$

simplificando o lado direito
$4x- \sqrt{8} \\\\=4x- \sqrt{2^3}\\\\=4x-2 \sqrt{2} \\\\=\boxed{2*(2x- \sqrt{2}) }$

agora 
chamando $K=(2x- \sqrt{2} )$ 

vc pode ver que tem uma diferença dos quadrados
(a-b)*(a+b)=a²-b²


fica
$(K-1)*(K+1)= 2K\\\\K^2-1^2 = 2K\\\\\boxed{K^2-2K-1=0}$

resolvendo a equação do segundo grau
A = 1
B = -2
C = -1

aplicando bhaskara

$\boxed{ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c} }{2*a} }$


$K=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4*1*(-1)} }{2*1} \\\\= \frac{2\pm \sqrt{4+4} }{2} \\\\= \frac{2\pm \sqrt{8} }{2} = \frac{2\pm2 \sqrt{2} }{2}= \frac{2*(1\pm \sqrt{2}) }{2} = \boxed{1\pm \sqrt{2}=K }$

temos
$K=1- \sqrt{2} \\\\ 2x- \sqrt{2} =1- \sqrt{2} \\\\2x=1\\\\ \boxed{x= \frac{1}{2} }$

a outra raiz
$K=1+ \sqrt{2} \\\\2x- \sqrt{2}=1+ \sqrt{2} \\\\2x=1+ \sqrt{2}+ \sqrt{2} \\\\2x=1+2 \sqrt{2}\\\\ x= \frac{1}{2}+ \frac{2 \sqrt{2} }{2} \\\\ \boxed{x= \frac{1}{2}+ \sqrt{2} }$

a diferença entre as raízes
$\frac{1}{2}+ \sqrt{2} } - \frac{1}{2} = \sqrt{2}$