Question

A diferença entre a área total e a área lateral de um prisma triangular regular é 8√3 cm2 e a altura desse prisma é 12 cm. A base de um cone está inscrita na base do prisma e o vértice do cone é o centro da base superior do prisma. Calcule, para esse cone: a área lateral, área total e o volume.

Answer 1

Observando os dados presentes na questão, ja temos a altura do cone.
H= 12 cm

Mas para descobrirmos oque se pede no problema é necessário que se descubra o raio da base do cone.
Como a base do cone esta circunscrita no triangulo equilátero que é a base do prisma, temos que:
Raio = apotema do triangulo equilátero

Resolução(descobrindo o raio):

Área total - área lateral = 2. Area da base
2. Area da base = 8 raiz3 cm2

2.((A>2 raiz3)/4) = 8 raiz3
(A>2raiz3)/2 = 8 raiz3
A>2/2 = 8
A>2 = 16
A = raiz16
A = 4 cm

Apotema do triangulo equilátero = 1/3 da altura do triangulo
Altura do triangulo = (Araiz3)/2

h = (4raiz3)/2
h = 2raiz3 cm

R = 1/3h
R = 1/3 ( 2raiz3)
R = (2raiz3)/3 cm

1. Área lateral

Al = piRg

Temos agora que descobrir o valor da geratriz (g) por Pitágoras

g>2=h>2+R>2
g>2=12>2+((2raiz3)/3)>2

g = (2raiz327)/3 cm

Al = pi.R.g
Al= pi.(2raiz3)/3.(2raiz327)/3

Al= (4pi.raiz109)/3 cm2

2. Area total

Al+Ab=At

Ab= piR>2
Ab= pi.((2raiz3)/3)>2
Ab= (12pi)/9 cm2

At= (4pi.raiz109)/3 + (12pi)/9

At= (12pi(raiz109+1))/9 cm2

Essa questão me deixou com muita duvida quanto ao seu resultado, mas é assim que acho q faz

Espero ter ajudado