Question

a diferença dos quadrados de dois números reais é igual a 32 e o produto dos dois números é igual a 12. Quais são esses numeros?

Answer 1

A diferença dos quadrados de dois números reais podemos escrever como:
$a^2-b^2$

Trata-se de um produto notável que é equivalente à:
$a^2-b^2= (a+b) \cdot (a-b)$

O produto de dois números:
$a \cdot b$

Por fim, montamos o seguinte sistema:
$\left \{ {{(a+b) \cdot (a-b)= 32} \atop {a \cdot b= 12}} \right.$

Para não usarmos muita aritmética podemos nos aproveitar de uma tática, isto é, pensar nos possíveis produtos que contemplem as duas equações.

Fatorando o 32, temos, 32= 2³·2². Portanto,
$\left \{ {{a+b= 8} \atop {a-b= 4}} \right.$

Somando as equações:
$2a= 12 \\ \\ \boxed{a= 6}$

E,
$a-b= 4 \\ \\ 6-b= 4 \\ \\ \boxed{b= 2}$

Perceba que,
$a^2-b^2= 32 ~~ \to ~~ 6^2-2^2= 32 ~~(V) \\ \\ a \cdot b=12 ~~ \to ~~ 6 \cdot 2= 12 ~~(V)$

Portanto, teremos que esses números serão o 6 (seis) e o 2 (dois).

Porém, temos outro par ordenado nos números reais que também é solução, pois podemos escrever o 32 como: 32= (-2³)·(-2²)

Sendo assim, teremos que,
$\left \{ {{a+b= -8 } \atop {a-b= -4}} \right.$

Somando as equações:
$2a= -12 \\ \\ \boxed{a= -6}$

E,
$a+b= -8 \\ \\ -6+b= -8 \\ \\ \boxed{b= -2}$

Perceba que,
$a^2-b^2= 32 ~~ \to ~~ (-6)^2-(-2)^2= 32 ~~(V) \\ \\ a \cdot b=12 ~~ \to ~~ (-6) \cdot (-2)= 12 ~~(V)$

Portanto, os números -6 (menos seis) e -2 (menos 2) também serão soluções.