Question

A diferença de potencial U (em volts) de um circuito elétrico diminui com o tempo (em segundos) numa taxa de 0,01 volts/segundo devido ao desgaste da bateria; por outro lado, a resistência R, em ohms, aumenta numa taxa de 0,03 ohms/segundo devido ao aquecimento do resistor. Sabendo que se trata de um resistor ôhmico, qual é a taxa de variação da corrente elétrica i, em mA/s (microampere/segundo), no instante em que R for de 400 ohms e a corrente elétrica de 0,08 ampere? Dado (Lei de Ohm): U = R.i

Answer 1

Fazendo a derivada implicita do potencial temos que a taxa de variação da corrente é dada por -0,000031 A/s.

Explicação passo-a-passo:

Para resolvermos esta equação basta fazermos a derivada implicita da função potencial em função do tempo:

$U=R.i$

$\frac{dU}{dt}=\frac{dR}{dt}.i+R.\frac{di}{dt}$

E sabemos que a derivada de U pelo tempo é -0,01 e a taxa de R pelo tempo é 0,03, e neste instante R é 400 ohms e i é 0,08. Então substituindo estes valores:

$\frac{dU}{dt}=\frac{dR}{dt}.i+R.\frac{di}{dt}$

$-0,01=0,03.0,08+400.\frac{di}{dt}$

$-0,01=0,0024+400.\frac{di}{dt}$

$-0,0124=400.\frac{di}{dt}$

$\frac{di}{dt}=-\frac{1,24.10^{-2}}{4.10^2}$

$\frac{di}{dt}=-0,31.10^{-4}$

$\frac{di}{dt}=-3,1.10^{-5}$

Então a taxa de variação da corrente é dada por -0,000031 A/s.