Question

A diferença de idade entre um pai e um filho é de 32 anos. Há 5 anos, a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho. Como eu determino essas idades por meio de sistemas de 1° grau?

Answer 1

$x=\text{idade do pai;}\\ \\ y=\text{idade do filho.}$


$\bullet\;\;$ A diferença de idade entre um pai e um filho é de $32$ anos:

$x-y=32\;\;\;\;(i)$


$\bullet\;\;$ Há cinco anos, a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho.

$x-5=\text{idade do pai h\'{a} cinco anos;}\\ \\ y-5=\text{idade do filho h\'{a} cinco anos.}\\ \\ \\ (x-5)=5\cdot(y-5)\\ \\ x-5=5y-25\\ \\ x-5y=-25+5\\ \\ x-5y=-20\;\;\;\;(ii)$


Montamos um sistema com as equações $(i)$ e $(ii):$

$\left\{ \begin{array}{ccrc} x-y&=&32&\;\;\;(i)\\ x-5y&=&-20&\;\;\;(ii) \end{array} \right.$


Subtraindo a segunda equação da primeira, membro a membro, temos

$(i)-(ii)\\ \\ \\ (x-y)-(x-5y)=32-(-20)\\ \\ \diagup\!\!\!\! x-y-\diagup\!\!\!\! x+5y=32+20\\ \\ 4y=52\\ \\ y=\dfrac{52}{4}\\ \\ y=13$


Substituindo na primeira equação, temos

$x-y=32\\ \\ x-13=32\\ \\ x=32+13\\ \\ x=45$


Logo, o pai tem $45$ anos e o filho tem $13$ anos.