Question

A diagonal do quadrado II é igual ao perímetro do quadrado I. A área do quadrado II é quantas vezes a do quadrado I?

Answer 1

Resposta:

A área do quadrado II é 8 vezes mais que a do quadrado I

Explicação passo a passo:

Respondendo algebricamente, podemos fazer uma relação entre LADO / LADO e ÁREA / ÁREA pois as duas figuras são semelhantes (por serem quadrados)

- Precisamos relacionar a medida de dois segmentos iguais para aplicar as relações proporcionais, no caso, das duas diagonais.

- Vamos chamar quadrado I de q1 e quadrado II de q2.

Diagonal do quadrado = Lado √2 (propriedade de quadrados)

Perímetro de q1 = 4 * Lado de q1

Diagonal de q2 = Lado de q2 * √2

(substituindo a relação dada no enunciado)

Perímetro de q1 = Diagonal de q2

4 * Lado de q1 = Lado de q2 * √2

A propriedade que eu citei no início define que para formas geométricas semelhantes:

Lado1 / Lado2 = k

Área1 / Área2 = k²

Volume1 / Volume2 = k³

(manipulando a equação:)

4 * Lado de q1 = Lado de q2 * √2

(temos que)

Lado de q1 / Lado de q2 = √2 / 4 = k(constante)

Área de q1 / Área de q2 = k²

Área de q1 / Área de q2 = (√2 / 4)²

Área de q1 / Área de q2 = 2 / 16 = 1 / 8

(manipulando a equação acima, temos que)

Área de q2 * 2 = Área de q1 * 16

Área de q2 = Área de q1 * 16 / 2

Área de q2 = Área de q1 * 8

Answer 2

A área do quadrado II é 8 vezes a área do quadrado I.

Para resolvermos essa questão é necessário relembrarmos alguns conceitos. Bora lá ?

Diagonal

A diagonal de um quadrado é dada por :

      Diagonal = lado√2

Perímetro

O perímetro de um polígono corresponde a soma de todos os seus lados.

• O quadrado possui quatro lados de mesma medida.

Como o lado desse quadrado é desconhecido eu vou dizer que ele vale L. Portanto o seu perímetro será equivalente a :

Perímetro = L + L + L + L → 4L

Agora é só organizarmos o enunciado na forma de uma sentença matemática.

diagonal do quadrado II → l√2

Como a diagonal de um quadrado depende do lado e o lado desse quadrado também é desconhecido eu direi que ele vale l. (Não vou dizer que ele vale L porque não está explícito no texto da questão que os lados de ambos os quadrados são iguais).

     ''A diagonal do quadrado II é igual ao perímetro do quadrado I''

                                             l√2 = 4L

                                           $l = 4L/\sqrt{2}$

Após a racionalização do denominador nós ficamos com o seguinte :

                                         $l = \frac {4L}{\sqrt{2} }. \frac {\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$ → $\boxed {l = \frac {4L\sqrt{2} }{2}}$

Observe que nós conseguimos chegar em uma equivalencia entre os lados dos quadrados I e II. Agora é só fazermos a comparação entre as suas áreas.

Área

A área de um quadrado é encontrada fazendo a multiplicação dos seus lados. Portanto :

Área I → L²

Área II → l²

No entanto como nós queremos estabelecer uma relação entre as áreas é necessário utilizarmos a equivalencia dos lados encontrada anteriormente.

Área II → l²

Área II → $(\frac {4L\sqrt{2}}{2})^2$ → $\frac {16L^2.2}{4}$ $= \frac {32L^2}{4}$ ∴ $\boxed{AII = 8L^2}$

Como a Área I é igual a L² então nós podemos dizer que :

                                    Área II = 8 Área I