Question

a diagonal de um quadrado é também a bissetriz do ângulo interno sabendo disso, responda: qual é a tangente de 45°

Answer 1

 Oiiiii. Desenhar melhora muito o entendimento. Vá desenhando aí, ok???: 

Faça um quadrado de lado 1 (lado 1 é ótimo para calcular medidas genéricas de qualquer figura). Coloque a medida 1 em todos os quatro lados. 
Trace a diagonal e coloque a medida como d. 

A tangente de um ângulo é justamente a medida sen/cos, em relação a um ângulo qualquer. 
Se tomarmos o ângulo teta feito pela diagonal, temos que teta = 45º, certo? Desenhe o ângulo teta lá. 

Você lembra o que são seno e cosseno? Seno é a medida do cateto oposto sobre a medida da hipotenusa e cosseno é a medida do cateto adjacente sobre a medida da hipotenusa. 
Ora, nossa hipotenusa é d (a diagonal). 
Então vemos no desenho que o seno é 1/d e o cosseno também é 1/d. 

Mas a tangente de um ângulo é justamente a medida do seno sobre o cosseno, certo? Então ficamos assim: 
tg teta = sen teta/ cos teta 
tg teta = (1/d) / (1/d) 
tg teta = (1/d) . (d/1) 
tg teta = 1 
Taí! Achamos a tangente do ãngulo teta (45º): é 1. 

Podemos confirmar isso fazendo pelos valores diretos das razões trigonométricas: 
sen 45º = (raiz quadrada de 2) / 2 
cos 45º = (raiz quadrada de 2) / 2 
Então 
tg 45º = ((raiz quadrada de 2) / 2) / (raiz quadrada de 2) / 2 
tg 45º = ((raiz quadrada de 2) / 2) . (2 / raiz quadrada de 2) 
tg 45º = 1. 


O que o seu professor quer é que você não decore valores, mas saiba como encontrá-los, ou seja, possa construir os valores sabendo como eles existem, quais suas origens. Por isso pediu para encontrar os valores através do desenho, ou seja, da geometria, e não apenas da álgebra (cálculos). Aliás, a trigonometria é uma parte da geometria (que trata das relações entre triângulos) explicada pela álgebra.