Question

A diagonal de um paralelepípedo retângulo mede m. Calcule o volume do paralelepípedo, sabendo que as medidas das três arestas são números inteiros consecutivos.

Answer 1

Resposta:

V=210 unidades de volume.

Explicação passo a passo:

Sejam a,b e c as medidas dos lados desse paralelepípedo retângulo:

"a" a profundidade dele

"b" o seu comprimento

"c" sua altura

Observe que a diagonal desse prisma pode ser calculada conhecendo a diagonal de sua base que é dada por d²=a²+b² e sua altura c , assim:

m²=d²+c²=a²+b²+c² , como c,b,a (nessa ordem) são números consecutivos (imagine o paralelepípedo deitado , como um tijolo) então:

m²=(c+2)²+(c+1)²+c²=3c²+6c+5 , assim: 3c²+6c+(5-m²)=0 , resolvendo essa equação do 2 grau em c:

Delta=36-4.3.(5-m²)=12m²-24, dessa forma , observe que c é dado por:

c=[-6±(12m²-24)½]/6 como c é um comprimento , então c>0 e como c é um número inteiro , então o termo (12m²-24)½ precisa ser inteiro , mas (12m²-24)½ é inteiro <=> 12m²-24 é um quadrado perfeito ou é igual a 0, assim:

12m²-24 é quadrado perfeito <=> 12m²-24=k² <=> 3.2².(m²-2)=k² , assim vamos ás possibilidades:

m²-2=3 => m²=5 (não pode)

m²-2=3³.2² => m²=110 (é possível)

Dessa forma , se m²=110 , então:

12m²-24=1296=36² e assim:

c=[-6±36]/6 => c=5 (única solução).

Portanto: b=6 e a=7 e sendo o volume do paralelepípedo dado por V=abc , temos: V=5.6.7=210.