Question

a) Determine o quociente entre a área e o perímetro do triângulo retângulo cujos lados formam uma PA de razão 2.

b) Da PA(a1, a2, a3,...) sabe-se que 20<a1<30, que sua razão é 9 e que um de seus termos é 77. Nessas condições, qual é o valor de a1?

c) Sejam h, l e c a altura, a largura e o comprimento, respectivamente, do quarto de Antônio. Sabendo que, nessa ordem, essas dimensões formam uma progressão aritmética de razão 2m e que a área do quarto é 35m², determine h, l e c.

Answer 1

A) Como a razão é dois podemos considerar:

$(x-2)$ = cateto
$x$ = cateto
$(x+2)$ = hipotenusa (pois é o lado maior)
 
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
 
$(x+2)^{2}= x^{2} + (x-2)^{2}$
$x^{2} +4x+4= x^{2} + x^{2} -4x+4$
$x^{2} -2 x^{2} +4x+4x+4-4=0$
$-x^{2}+8x$ . (-1)
$x^{2} -8x=0$
$x(x-8)=0$

$x' = 0$ (F)

$x" = 8$ (V)

Substituuindo o valor de x:

$(x-2)=8-2=6$
$x = 8$
$(x+2)=8+2=10$

Calculando o perimetro:

6 + 8 + 10 = 24

Calculando a área:

$A = \frac{b.h}{2}$
$A = \frac{6.8}{2}$
$A= \frac{48}{2}$
$A = 24$

Encontrando o quociente:

$Q = \frac{area}{perimetro}$
$Q = \frac{24}{24}$
$Q = 1$

B) $20< a_{1}<30$

Como a razão é 9 temos somas de 9 em 9.

Então,
$77-9=68 \\ 68-9=59 \\ 59-9=50 \\ 50-9=41 \\ 41-9=32 \\ 32-9=23$ 

Como queremos um número entre 20 e 30

$a_{1}=23$

C) A área do quarto é 35 m²

l.c = 35 m²
5.7 = 35

h = 3 m

h = 3, l = 5 e c = 7