Question

A) Determine o Polinômio P(x) é do 2° grau tal que P(0) = 2; P(1) =3 e P(2) = 8 .


B) Determine os valores de a e b para que os polinômios P(x) = (a²-4)x³+2x+6 e Q(x) = 5x³+(a-3)x²(a-b)x+6 sejam idênticos .

Answer 1

Lembrando que uma equação de segundo grau tem o formato
$ax^2+bx+c=0$
Podemos montar um sistema, substituindo por exemplo em P(0)=1, todos os x serão trocados por zero e no final, a equação inteira será igualada a 1. E assim por diante com os outros casos.

$P(0)=a(0)^2+b.0+c=2\rightarrow c=2$

$P(1)=a.1^2+b.1+c=3\rightarrow a+b+c=3$

$P(2)=a.2^2+2b+c=8\rightarrow 4a+2b+c=8$

Agora podemos substituir o c nas outras equações, e além disso,pegar a segunda, que ficou a+b=1 e isolar o b. Agora ficamos com b=1-a e substituímos isso na terceira equação.

$4a+2(1-a)=6\rightarrow a=2$ 
$b=1-a\rightarrow b=1-2\rightarrow b=-1$

Portanto, o polinômio é
$P(x)=2x^2-x+2$

b)

$P(x)\equiv Q(x)$
$(a^2-4)x^3+2x+6=5x^3(a-3)x^2+(a-b)x+6$

Agora é só igualar os coeficientes de um aos do outro: os do x a terceira de um lado,com os x a terceira do outro... e assim vai. Fazendo isso, temos que:

$a^2-4=5\rightarrow a=\pm3$

$a-3=0\rightarrow a=3$
(isso invalida a resposta a=-3 obtida na linha anterior)

$a-b=2\rightarrow b=1$