Question

(a) Determine α, β de modo que v = αv1 + βv2 , onde v = (1, 2), v1 = (−1, 1) e v2 = (1, 1).
(b) Expresse v na base {v1, v2}.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Precisamos relembrar duas coisas para resolver sua questão. Inicialmente, multiplicação de um escalar por um vetor. Por exemplo, como multiplicamos o escalar 3 pelo vetor v(2,1)? basta multiplicar o escalar por cada coordenada do vetor, resultando no vetor j(6,1). Além disso, precisamos saber quando dois vetores são iguais, e isso ocorre quando as coordenadas correspondentes são iguais. Assim conseguimos resolver sua questão:

$v=\alpha \cdot v_1+ \beta \cdot v_2\\(1,2)=\alpha \cdot (-1,1)+\beta \cdot (1,1)\\(1,2)=(- \alpha, \alpha)+(\beta, \beta)\\(1,2)=(-\alpha+\beta,\alpha+\beta)$

Daí pela igualdade de vetores temos que:

$\left \{ {{-\alpha+\beta=1} \atop {\alpha+\beta=2}} \right.$

Somando as equações vamos obter:

$2 \beta=3\\\\\beta=\dfrac{3}{2}$

Substituindo este valor na segunda equação do sistema teremos:

$\alpha + \beta = 2\\\\\alpha +\dfrac{3}{2} =2\\\\\alpha=2-\dfrac{3}{2} \\\\\alpha = \dfrac{1}{2}$

Assim determinamos os valores desejados