Question

a) Determine as equações reduzidas das duas circunferências.

b) Calcule as coordenadas dos pontos A e B, intersecções das duas

circunferências.

Answer 1

A circunferência menor possui centro em C₁ = (-3,2) e raio igual a 2.

Assim, a equação da circunferência é (x + 3)² + (y - 2)² = 4.

A circunferência maior possui centro em C₂ = (1,1) e raio igual a 3.

Assim, a equação da circunferência é (x - 1)² + (y - 1)² = 9.

Da primeira equação, obtemos x² + y² = -6x + 4y -9 e da segunda equação, obtemos x² + y² = 2x + 2y + 7.

Igualando:

-6x + 4y - 9 = 2x + 2y + 7

-8x + 2y = 16

y = 8 + 4x.

Substituindo o valor de y em x² + y² = -6x + 4y - 9:

x² + (8 + 4x)² = -6x + 4(8 + 4x) - 9

x² + 64 + 64x + 16x² = -6x + 32 + 16x - 9

17x² + 54x + 41 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara encontramos dois valores para x:

$x=\frac{-27-4\sqrt{2}}{17}$ e $x=\frac{-27+4\sqrt{2}}{17}$.

Quando $x=\frac{-27-4\sqrt{2}}{17}$, então $y=\frac{28-16\sqrt{2}}{17}$.

Quando $x=\frac{-27+4\sqrt{2}}{17}$, então  $y=\frac{28+16\sqrt{2}}{17}$.

Portanto, $A=(\frac{-27-4\sqrt{2}}{17},\frac{28-16\sqrt{2}}{17})$ e $B=(\frac{-27+4\sqrt{2}}{17},\frac{28+16\sqrt{2}}{17})$.