Question

a) Determine a área sombreada da figura.

b) Determine o volume do sólido gerado pela rotação dessa área em

torno do eixo dos X.

Answer 1

Para solucionar este problema, precisamos nos atentar a duas coisas:

i) f(x) = y(x),

ii) 0≤ x ≤1 .

Estas duas informações permitem a utilização das equações de Área e Volume que nos foram dadas, sem grandes problemas, bastando apenas substituir os termos chaves.

Na equação da Área, vemos que é uma integral em x, logo os limites de integração a e b são, repectivamente, onde a curva começa e onde termina, no que se refere ao eixo x.

Deste modo, basta substituir f(x) por y(x), a por 0 e b por 1.

A integral de y(x) é x³/3 + x, de 0 até 1. Note que este valor é a área sombreada.

Ou seja, a área sombreada será:

A = 1/3 + 1 = 3/2

No que tange ao volume do sólido, precisamos calcular o valor de y², sendo:

y² = x^4 + 2x² + 1.

Sua integral é (x^5)/5 + (2x^3)/3 + x

Utilizando os limites de integração em x, de 0 a 1, e multiplicando por π como manda a fórmula:

V =π(1/5 + 2/3 + 1) = π(6/5 + 2/3) = 28π/15

Vale lembrar que ∫f(x)dx, a≤ x ≤b = F(b) - F(a)

onde f é a função original e F sua primitiva.

Foi omitido a constante de integração anteriormente, pois se trata de uma integral definida, ocorrendo que este termo anulá-se com ele mesmo.

Answer 2

Olá, bom dia ☺

Resolução:

Valor da área sombreada:

$A = \[ \int_{0}^{1} (x^2+1) \,dx \]$

$A=\left[ \dfrac{x^3}{3} +x \right]^{1}_{0} \\ \\ \\ A = \left[ \dfrac{1^3}{3}+1 \right] - \left[\dfrac{0^3}{3} +0 \right] \\ \\ \\ A = \dfrac{4}{3}$

Volume do sólido gerado pela rotação dessa área em torno do eixo x:

$V=\pi \[ \int_{0}^{1} (x^2+1)^2 \,dx \] \\ \\ V= \pi \[ \int_{0}^{1} x^4 + 2x^2+1 \,dx \] \\ \\ V = \pi \left[ \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x \right]^{1}_{0} \\ \\ V = \pi\left[ \dfrac{1^5}{5} +\dfrac{2\cdot 1^2}{3}+1 \right] - \pi \left[ \dfrac{0^5}{5}+\dfrac{2 \cdot 0^2}{3}+0 \right] \\ \\ V= \pi\left( \dfrac{1}{5}\:+\dfrac{2}{3}+1 \right) \\ \\ V = \dfrac{28\pi}{15}$

Bons estudos :)