Question

a) Determine a área sombreada da figura.

b) Determine o volume do sólido gerado pela rotação dessa área em

torno do eixo dos X.

Answer 1

a) De acordo com o gráfico, o valor de x varia entre 0 e 1.

Assim, temos a seguinte integral:

$A = \int\limits^1_0 {x^2+1} \, dx$.

Integrando:

$A= \frac{x^3}{3}+x$

Aplicando os limites laterais, concluímos que a área sombreada da figura é igual a:

$A = \frac{4}{3}$ ua.

b) Para calcular o volume do sólido, utilizaremos o método do disco ou arruela.

Sendo y = x² + 1, temos que:

y² = (x² + 1)²

y² = x⁴ + 2x² + 1.

Como x está variando entre 0 e 1, temos que:

$V=\pi \int\limits^1_0 {x^4+2x^2+1} \, dx$

$V = \pi (\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3}+x)$

Aplicando os limites laterais, temos que o volume do sólido é igual a:

$V = \pi(\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1)$

$V=\frac{28\pi}{15}$ uv.