Question

a)desenvolva o binômio (2x-y)⁵ b) de a soma dos coeficientes

Answer 1

Vamos usar o Triângulo de Pascal para encontrar o desenvolvimento desse binômio.

• Para resolver através do Triângulo de Pascal, devemos escrevê-lo até a linha correspondente ao expoente do mesmo, ou seja, no nosso caso teremos que escrever até a quinta linha do triângulo:

$\sf 0 \rightarrow 1 \\ \sf 1 \rightarrow 1 \: \: \: 1 \\ \sf 2 \rightarrow 1 \: \: \: 2 \: \: \: 1 \\ \sf 3 \rightarrow 1 \: \: \: 3 \: \: \: 3 \: \: \: 1 \\ \sf 4 \rightarrow 1 \: \: \: 4 \: \: \: 6 \: \: \: 4 \: \: \: 1 \\ \sf 5 \rightarrow 1 \: \: \: 5 \: \: 10 \: \: 10 \: \: 5 \: \: 1$

Após ter escrito o até a quinta linha, você deve escrever os números a frente do binômio:

$\sf (2x - y) {}^{5} = 1 \: \: 5 \: \: 10 \: \: 10 \: \: 5 \: \: 1$

Agora vem a parte interessante desse método.

• 1) Devemos escrever o primeiro termo do binômio (2x) com o expoente do mesmo e ir decrescendo o expoente conforme o desenvolvimento até que o mesmo atinja "0".

$\sf a {}^{n} + a {}^{n - 1} + a {}^{n - 2} ...a {}^{0}$

• 2) Do mesmo jeito que fizemos com o primeiro termo, teremos que fazer com o segundo, mas será o inverso, pois o segundo termo inicia com o expoente "0" e ao decorrer do desenvolvimento irá crescer até o expoente do binômio.

$\sf a {}^{0} + a {}^{n + 1} + a {}^{n + 2} ...a {}^{n}$

Fazendo isso:

$\sf (2x - y) {}^{5} = 1.(2x) {}^{5} .y {}^{0} - 5.(2x) {}^{4} .y {}^{1} + 10.(2x) {}^{3} .y {}^{2} - 10.(2x) {}^{2}.y {}^{3} + 5(2x) {}^{1} .y {}^{4} - 1.(2x) {}^{0} .y {}^{5} \\ \sf (2x - y) {}^{5} = 32x {}^{5} - 5.(16x {}^{4} ).y + 10.(8x {}^{3} )y {}^{2} - 10.(4x {}^{2} )y {}^{3} + 5.2x.y {}^{4} - 1.1.y {}^{5} \\ \boxed{\sf (2x - y) = 32x {}^{5} - 80x {}^{4} y + 80x {}^{3} y {}^{2} - 40 {x}^{2} y {}^{3} + 10xy {}^{4} - y {}^{5} }$

Portanto temos que o desenvolvimento é dado por:

• 32x⁵ - 80x⁴y + 80x³y²-40x²y³+10xy⁴-y⁵.

Para finalizar vamos somar os coeficientes:

$\sf \sum_{i = 1}^{8} = 32 \cancel{ - 80 + 80 }- 40 + 10 - 1 \\ \sf \sf \sum_{i = 1}^{8} = 32 - 40 + 10 - 1 \\ \sf \sf \sum_{i = 1}^{8} = 42 - 41 \\ \sf \boxed{\sf \sum_{i = 1}^{8} = 1}$

Outra forma de encontrar a soma era só considerar x = 1 e y = 1.

$\sf (2x - y) {}^{5} = (2.1 - 1) {}^{5} = (1) {}^{5} = 1$

Espero ter ajudado

Answer 2

a)Temos que o desenvolvimento da expressão (2x-y)⁵ é:

• $32x^5-80x^4y+80x^3y^2-40x^2y^3+10xy^4-y^5$

b)A soma dos coeficientes vale: 1

Explicação passo a passo:

Expansão Binomial

Em Álgebra, o teorema binomial define a expansão algébrica do termo $(x + y)^n.$ Ele define a potencia na forma de $ax^by^c$. Os expoentes b e c são inteiros distintos não negativos e b+c = n e o coeficiente ‘a’ de cada termo é um inteiro positivo e o valor depende de ‘n’ e ‘b’. Por exemplo, para n=4, a expansão $(x + y)^4$ pode ser expressa como:

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

Os coeficientes dos binômios nesta expansão 1,4,6,4 e 1 formam o 5º grau do triângulo de Pascal. O teorema geral para a expansão de $(x + y)^n$é dado como:

$\begin{array}{l}(x+y)^{n} = \displaystyle\binom{n}{0}x^{n}y^{0} + \binom{n}{1}x^{n-1}y^{1}+ \binom{n}{2}x^{n-2}y^{2} +...+ \binom{n}{n-1}x^{1}y^{n-1}+ \binom{n}{n}x^{0}y^{n}\end{array}$

ou

$\begin{array}{l}(a+b)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k} b^{k}\end{array}$

Sendo assim podemos resolver o exercício.

a)

$\left(2x-y\right)^5$

$\mathrm{Aplicando\:o\:teorema\:do\:binomio}:\quad \left(a+b\right)^n=\displaystyle\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\left(n-i\right)}b^i$

$=\displaystyle\sum _{i=0}^5\binom{5}{i}\left(2x\right)^{\left(5-i\right)}\left(-y\right)^i$

$=\dfrac{5!}{0!\left(5-0\right)!}\left(2x\right)^5\left(-y\right)^0+\dfrac{5!}{1!\left(5-1\right)!}\left(2x\right)^4\left(-y\right)^1+\dfrac{5!}{2!\left(5-2\right)!}\left(2x\right)^3\left(-y\right)^2+$

$+\displaystyle\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}\left(2x\right)^2\left(-y\right)^3+\\\\+\frac{5!}{4!\left(5-4\right)!}\left(2x\right)^1\left(-y\right)^4+\frac{5!}{5!\left(5-5\right)!}\left(2x\right)^0\left(-y\right)^5=$

$=32x^5-80x^4y+80x^3y^2-40x^2y^3+10xy^4-y^5$

b)Soma dos coeficientes:

32 - 80 + 80 - 40 + 10 - 1 = -8 + 9 = 1

Saiba mais sobre binômio de newton:https://brainly.com.br/tarefa/6947070

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