A derivada pode ser vista como um limite construído a partir da função, uma vez que esse limite está associado à inclinação da reta tangente, mas também pode ser vista como o limite que dá a variação instantânea da função no ponto observado. Diante dessas informações, determine a reta tangente e a reta normal á curva dada por f(x)=2x^2+3x-2 no ponto de abscissa 4.
obs: usando derivada por definição.
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Romulo, que a resolução parece simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se a reta tangente à curva dada no gráfico de f(x) = 2x²+3x-2, no ponto de abscissa igual a "4".
ii) Veja: antes vamos logo calcular qual é o valor de "y" quando a abscissa for igual a "4". Para isso, basta que substituamos o "x" por "4" na função acima. Assim:
f(4) = 2*4² + 3*4 - 2
f(4) = 2*16 + 3*4 - 2
f(4) = 32 + 12 - 2
f(4) = 42 <--- Este é o valor de "y" quando a abscissa "x" for "4".
Logo, teremos o ponto P(4; 42), que é o ponto onde a reta tangencia o gráfico da curva dada por f(x) = 2x² + 3x - 2
iii) Agora encontraremos a derivada de f(x) = 2x² + 3x - 2. Encontrando-a, teremos:
f'(x) = 4x + 3 - 0 --- ou apenas:
f'(x) = 4x + 3
iv) Para encontrarmos o coeficiente angular desta reta, substituiremos o "x" na derivada acima por "4", que é o ponto onde ela tangencia a curva original. Assim, fazendo isso, teremos:
f'(4) = 4*4 + 3
f'(4) = 16 + 3
f'(4) = 19 <---- Este será o coeficiente angular da reta que passará no ponto P(4; 42).
iv) Finalmente, agora vamos encontrar a equação da reta tangente pedida. Note que a fórmula para encontrar-se uma equação da reta, quando já se conhece o coeficiente angular (m) e um ponto (x₀; y₀) é dada assim:
y - y₀ = m*(x - x₀)
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação da reta que tem coeficiente angular igual a 19 (m = 19) e que passa no ponto P(4; 42) será dada assim:
y - 42 = 19*(x - 4) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:
y - 42 = 19x - 76 ---- passando todo o 1º membro para o 2º e ordenando, temos:
0 = 19x - y - 76 + 42 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = 19x - y - 34 ----- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
19x - y - 34 = 0 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação da reta tangente à curva de f(x) = 2x²+3x-2 no ponto de abscissa igual a "4", ou seja, no ponto P(4; 42), conforme já havíamos encontrado antes.
Apenas pra que você tenha uma ideia visual, veja o gráfico da equação original (f(x) = 2x² + 3x - 2) e da reta tangente à essa curva no ponto de abscissa igual a "4", que vai ser a reta de equação 19x - y - 34 = 0, ou, colocando-se "-y" para o 2º membro, temos: 19x - 34 = y ---> o que equivale a y = 19x - 34, ou g(x) = 19x - 34 (aqui apenas trocamos "y" por "g(x)"). Veja lá e constante tudo o que dissemos sobre a sua tangência à curva dada. Veja lá.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bf(x)+%3D+2x%C2%B2+%2B+3x+-+2,+g(x)+%3D+19x+-+34%7D
A propósito, note que a equação da reta realmente tangencia a curva dada.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.