Question

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A derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma reta tangente a uma curva. A reta tangente a um ponto é a reta que tem um único ponto em comum com a curva (LEITHOLD, 1994).

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª ed. 1 Vol. São Paulo: Harbra, 1994

Sendo assim, assinale a alternativa que determina a equação da reta tangente a curva f(x) = x3 + x no ponto de abscissa 2 e ordenada 8.

Alternativas:

a)
y = 4x – 7

b)
y = 16x +3

c)
y = 13x – 18

d)
y = 16x – 61

e)
y = 4x – 6

Answer 1

Consideração inicial: A questão tem um problema, Ou ela foi mal feita ou não há um gabarito correto. Acompanhe o desenvolvimento para entender o porquê.

Lembrando que a equação da reta é dada por:

$y-y_o~=~m.(x-x_o)$  , onde "m" é a inclinação da reta.

Vamos então calcular a derivada de f(x):

$\frac{df(x)}{dx}~=~3.x^{3-1}+1x^{1-1}\\\\\\\boxed{\frac{df(x)}{dx}~=~3x^{2}+1}$

A inclinação da reta tangente no ponto (2 , 8) será:

$f'(2)~=~3~.~(2)^2+1\\\\\\f'(2)~=~3~.~4+1\\\\\\f'(2)~=~13$

Por fim, substituindo as informações na equação da reta, temos:

$y-y_o~=~m.(x-x_o)\\\\\\y-8~=~13.(x-2)\\\\\\y-8~=~13x-26\\\\\\\boxed{y~=~13x-18}$

Aonde estava o problema? Sem uma observação mais atenta, podemos marcar a letra (c), porém perceba que o ponto dado (2 , 8) não pertence a curva f(x). Calculando: f(2) = 10 e não f(2) = 8.

Dito isso, podemos concluir que a reta achada não é tangente a curva naquele ponto, uma vez que não toca a curva naquele ponto.

Obs: Gráfico em anexo