Question

A derivada permite calcular a taxa de variação de uma determinada função, sendo aplicada tanto para funções de uma variável ou mais variáveis. A derivada de funções com mais de uma variável real é chamada de derivada parcial. Neste contexto, determine a derivada parcial da seguinte função.

f ( x,y ) = 12x + 3y - 5xy + x2/2 + y3/5

​E analise as afirmações apresentadas.
I) A derivada parcial da função em relação a x, calculada para x = 1 e y = 2 é igual a 8.
II) A derivada parcial da função em relação a y, calculada para x = 1 e y = 2 é igual a 0,4.
III) A derivada parcial da função em relação a x, calculada para x = 0 e y = 1 é igual a 10.

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1:
II e III apenas.

Alternativa 2:
I e III apenas.

Alternativa 3:
I e II apenas.

Alternativa 4:
II apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Ao derivarmos parcialmente uma função em relação a x, a incógnita y vira constante.

Da mesma forma, se derivarmos em relação a y, a incógnita x vira constante.

Sendo $f(x,y)= 12x+3y-5xy+\frac{x^2}{2}+\frac{y^3}{5}$, temos que:

A derivada de f em relação a x é igual a $f_x(x,y) = 12 - 5y + x$

e a derivada de f em relação a y é igual a $f_y(x,y)=3-5x+\frac{3y^2}{5}$.

Agora, vamos analisar cada uma das afirmações apresentadas:

I. Fazendo x = 1 e y = 2 em $f_x(x,y) = 12 - 5y + x$, obtemos:

$f_x(1,2) = 12 - 5.2 + 1 = 3$.

Portanto, a afirmativa está errada.

II. Fazendo x = 1 e y = 2 em $f_y(x,y)=3-5x+\frac{3y^2}{5}$, obtemos:

$f_y(1,2) = 3 - 5.1 + \frac{3.2^2}{5} = 0,4$.

Portanto, a afirmativa está correta.

III. Fazendo x = 0 e y = 1 em $f_x(x,y) = 12 - 5y + x$, obtemos:

$f_x(0,1) = 12 - 5.1 + 0 = 7$.

Portanto, a afirmativa está errada.

Logo, a alternativa correta é Alternativa 4.