Question

A derivada implícita dx/dy quando 5y2+sen(y)=x2 é corretamente dada por:

Answer 1

Resposta:

5y² + sen(y) = x²

 

Primeiro trataremos do membro esquerdo da equação. Derivando-a em relação a y:

 

d/dy[5y² + sen(y)] = d/dy(x²) ⇒ Utilize a regra d/dx(f+g) = df/dx + dg/dx.

d/dy(5y²) + d/dy[sen(y)] = d/dy(x²) ⇒ Utilize a regra d/dx(c.f) = c . df/dx.

5 . d/dy(y²) + d/dy[sen(y)] = d/dy(x²) ⇒ Utilize a regra d/dx(xⁿ) = n.xⁿ⁻¹.

5 . 2 . y²⁻¹ + d/dy[sen(y)] = d/dy(x²)

10y + d/dy[sen(y)] = d/dy(x²) ⇒ A derivada do seno é o cosseno.

10y + cos(y) = d/dy(x²)

 

Agora no membro direito da equação, aplique a regra da cadeia, na qual dy/dx = dy/du . du/dx (faça u = x):

 

10y + cos(y) = d/du(u²) . d/dy(u)

10y + cos(y) = 2u . d/dy(u)

10y + cos(y) = 2x . d/dy(x)

10y + cos(y) = 2x . dx/dy ⇒ Passe 2x dividindo.

dx/dy = [10y + cos(y)]/2x