Question

A derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou seja, indica a taxa de variação da função. Determine a taxa variação da função ​​​​​​​ f (x, y, z ) = xy + yz + zx no ponto P(1, -1, 2) e na direção do vetor.u=(3,6,-2

Answer 1

Resposta:

3

Explicação passo a passo:

Primeiro vamos calcular o vetor gradiente

$\nabla=\frac{\partial f}{\partial x} I +\frac{\partial f}{\partial y} J +\frac{\partial f}{\partial z} K$

$\frac{\partial f}{\partial x}=y+z$

$\frac{\partial f}{\partial y} =x+z$

$\frac{\partial f}{\partial z} =y+x$

No ponto P(1,-1,2) o vetor gradiente tem o seguinte valor:

$\nabla=(y+z)I+(x+z)J+(y+x)K\\\nabla=(-1+2)I+(1+2)J+(-1+1)K\\\nabla= I+3J$

Agora vamos checar se o vetor u é unitário:

$||u||=\sqrt{3^{2}+6^{2}+ (-2)^{2} } =7$

Como o módulo não é igual a 1 o vetor não é unitário, mas podemos corrigir dividindo suas componentes pela norma, assim conseguimos o novo vetor v

$\boxed{\vec v=\frac{3}{7} ,\frac{6}{7} ,-\frac{2}{7} }$

Agora basta fazer o produto escalar entre o vetor gradiente no ponto P e o vetor unitário de u (v)

$D_uf(1,-1,2)=\nabla_f(1,-1,2)\cdot \vec v$

$D_uf(1,-1,2)=(I+3J )\cdot(\ve\frac{3}{7} ,\frac{6}{7} ,-\frac{2}{7} )=(\frac{3}{7} +\frac{18}{7} )=3$

Logo a taxa de variação é 3

Answer 2

Resposta:

3

Explicação passo a passo:

3