Question

A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. Dada a função f (x,y) = x4y - x2y3, determine a direção de maior crescimento desta função no ponto P(2,-3).

Answer 1

Utilizand oderivada direciona lcom gradiente, temos que esta derivada é maxima na direção do vetor (12,-92).

Explicação passo-a-passo:

Para qualquer função a derivada direcional que representa o maior crescimento é sempre a mesma, a derivada gradiente, que nos da a derivada em função de cada variação na direção dela mesma:

$\vec{\nabla}f=(\frac{\partial f}{\partial x};\frac{\partial f}{\partial y})$

Fazendo estas derivadas:

$\frac{\partial f}{\partial x}=4x^3y-2xy^3$

$\frac{\partial f}{\partial y}=x^4-3x^2y^2$

Então nosso gradiente fica:

$\vec{\nabla}f=(4x^2y-2xy^3;x^4-3x^2y^2)$

Agora vamos substituir x e y pelo valor do ponto, para saber qual é este vetor de maior direção:

$\vec{\nabla}f=(4x^3y-2xy^3;x^4-3x^2y^2)$

$\vec{\nabla}f=(4(2)^3(-3)-2(2)(-3)^3;(2)^4-3(2)^2(-3)^2)$

$\vec{\nabla}f=(-96+108;16-108)$

$\vec{\nabla}f=(12;-92)$

Assim esta derivada é maxima na direção do vetor (12,-92).

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

pegue a resposta do tassinarijulio. Realmente você encontrou

grad f(2,-3) = {12,-92}

Porém ele parou no meio do problema. Lembremo-nos que quem da a direção de crescimento é o vetor unitário u, que por sua vez é definido por:

u(vetor) = grad (x0,y0)/[modulo]grad(x0,y0)

[modulo]grad(x0,y0)= sqrt(12^2+(-92)^2) = sqrt8608

8608=2^5.269, então sqrt8608=4sqrt538

u(vetor) = grad (x0,y0)/[modulo]grad(x0,y0)

ux=12/4sqrt538 -> ux=3/sqrt538

uy=-92/4sqrt538 -> uy=-23/sqrt538

Por fim faça a prova real, sqrt(ux^2+uy^2)=1, que por definição é nosso vetor unitário.