Question

A derivada direcional de f(x,y) = y cos(x.y), na direção do versor que forma ângulo de θ = 70º com o eixo x, no ponto P = (3, 0), é igual a:

Answer 1

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor da derivada direcional é igual a 0,94.

• Derivada direccional:

Em matemática de décimos derivada direcional para a taxa de variação de uma função multivariável na direção de um vetor. No conceito de derivadas direcionais, as derivadas parciais são generalizadas, pois são derivadas direcionais segundo a direção dos respectivos eixos coordenados.

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente vezes o vetor unitário que determina a direção.

• Isso significa que a fórmula da derivada direcional é definida pela expressão:

$D _ u f =\vec{ \nabla } f (x,y) \cdot \hat{u}$

Se quisermos calcular o vetor gradiente $\vec \nabla f$ de uma função de duas variáveis, será necessário aplicar a fórmula:

$\vec{ \nabla } f (x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x} \vec i + \dfrac{\partial f}{\partial y}\vec j$

• E o vetor normal em relação ao ângulo formal pode ser calculado pela expressão:

$\hat{u}= cos \theta \vec i +sen \theta \vec j$

Levando tudo isso em consideração podemos resolver nosso problema.

$\rule{10cm}{0.01mm}$

O problema diz que a derivada direcional da função f(x,y) = y cos(x • y), na direção do versor que forma um ângulo θ de 70° em relação ao eixo x no ponto P =(3 ,0), é igual a:

Para começar nossos cálculos podemos primeiro encontrar o vetor gradiente ou o vetor normal, no nosso caso vamos primeiro calcular o vetor gradiente, para calcular o vetor gradiente devemos levar em consideração o conceito de derivadas parciais.

Se quisermos encontrar o vetor gradiente de nossa função podemos aplicar a expressão mostrada acima, se substituirmos nossa função nesta fórmula obtemos a expressão:

$\vec{ \nabla } f (x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x} y cos (x\cdot y)\vec i + \dfrac{\partial f}{\partial y}y cos(x\cdot y)\vec j$

Para resolver essas derivadas parciais podemos aplicar algumas propriedades que já existem. Vamos ter em mente para qual variável estamos diferenciando, se nessa derivada houver uma variável que nem está sendo diferenciada, ela pode ser considerada uma constante.

• Lembrando disso podemos encontrar nosso vetor gradiente.

$\vec{ \nabla } f (x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x} y cos (x\cdot y)\vec i + \dfrac{\partial f}{\partial y}y cos(x\cdot y)\vec j \\\\ \vec{ \nabla } f (x,y) =y\dfrac{\partial f}{\partial x} cos (x\cdot y)\vec i + \dfrac{\partial f}{\partial y}y cos(x\cdot y)\vec j$

Para a primeira derivada parcial podemos aplicar a regra da cadeia, esta regra toma como expressão:

$\dfrac{df (u)}{d x} = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$

Onde a variável "u" pode representar a expressão x•y.

Para a segunda derivada parcial podemos aplicar a regra do produto, a regra do produto toma como expressão:

$(f\cdot g)'= f'\cdot g+f\cdot g'$

Se compararmos essas regras com nossas derivadas, devemos obter:

$\vec{ \nabla } f (x,y) =y\dfrac{\partial f}{\partial x} cos (x\cdot y)\cdot \dfrac{\partial f}{\partial x} (x\cdot y)\vec i + \dfrac{\partial f}{\partial y}y \cdot cos(x\cdot y)+y\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y} cos(x\cdot y) \vec j \\ \\ \vec{ \nabla } f (x,y) =y\left(-sin (x\cdot y)\cdot y\dfrac{\partial f}{\partial x} x\right)\vec i + 1\cdot cos(x\cdot y)+y\cdot \left(-sin(x\cdot y)\cdot x\right)\vec j\\\\ \vec{ \nabla } f (x,y) =y\left(-sin (x\cdot y)\cdot y \cdot 1\right)\vec i + cos(x\cdot y)+y\cdot \left(-sin(x\cdot y)\cdot x\right)\vec j \\\\\vec{ \nabla } f (x,y) =-y^2sin (x\cdot y)\vec i + cos(x\cdot y)-yx sin(x\cdot y)\vec j$

De acordo com o vetor gradiente podemos avaliar os valores x e y de acordo com o ponto. Substituímos os valores de x e y no gradiente:

$\vec{ \nabla } f (3,0) =-(0)^2sin (3\cdot 0)\vec i + cos(3\cdot 0)-2\cdot 0 sin(3\cdot 0)\vec j \\\\ \vec{\nabla}f(3,0)= 0 \vec i +1 - 0 \vec j \\\\ \vec{\nabla}f(3,0)= 0 \vec i +1 \vec j$

Como já encontramos o valor do vetor gradiente avaliado no ponto P, podemos agora calcular o vetor normal, para isso substituímos o valor do ângulo na expressão que representa o vetor normal de acordo com seu ângulo.

$\hat{u}= cos (70^o)\vec i +sen (70^o) \vec j$

Calculamos a derivada direcional:

$D _ u f =\left(0+1\right)\cdot \left(cos(70^o )+ sen(70^o) \right)\\\\ D _ u f = 0+sin(70^o)\\\\ D _ u f=sin(70^o)$

Esta é a derivada direcional sem a aproximação se aproximarmos o valor do seno de 70 graus obtemos o resultado:

$D _ u f \approx 0{,}93969\\\\ \boxed{\boxed{\bf D _ u f \cong 0{,}94}}$

Feitos os cálculos acabamos de concluir que o valor da derivada direcional é aproximadamente 0,94.

Veja mais sobre o tópico de derivativos direcionais nos links a seguir:

• https://brainly.com.br/tarefa/15648722
• https://brainly.com.br/tarefa/15427141
• https://brainly.com.br/tarefa/52861874 (solkaped)

Bons estudos e espero que te ajude :-)

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