Question

A derivada de uma função representa a taxa de variação da mesma, que permite analisar seu comportamento com relação a diversos valores da função. Utilizando os conceitos da regra da cadeia para funções de mais de uma variável real, assinale a alternativa que apresente corretamente a derivada da função apresentada para a variável t, calculando-a para o ponto t = 2.
-98,6

Alternativa 2:
-117,6

Alternativa 3:
105,9

Alternativa 4:
120,3

Alternativa 5:
210,8

Answer 1

Utilizando regra da cadeia com derivadas parciais, temos que a derivada neste ponto vale -117,6. Alternativa 2.

Explicação passo-a-passo:

Então temos as funções:

$F(x,y)=2x^2+0,8y^3-xy+9$

$x(t)=t+2$

$y(t)=-t^2$

Para encontrarmos a variação de F, vamos precisar utilizar a regra da cadeia para derivadas parciais:

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

Então fazendo estas derivadas:

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=4x-y$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=2,4y^2-x$

$\frac{\partial x}{\partial t}=1$

$\frac{\partial y}{\partial t}=-2t$

Colocando de volta na regra da cadeia:

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=(4x-y)+(2,4y^2-x)(-2t)$

Agora precisamos saber os valores de x e y, quando t=2:

$x(2)=2+2=4$

$y(2)=-2^2=-4$

Substituindo na derivada parcial:

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=(4x-y)+(2,4y^2-x)(-2t)$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=(4.4+4)+(2,4(-4)^2-4)(-2.2)$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=20+(2,4.16-4)(-4)$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=20+(38,4-4)(-4)$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=20+34,4.(-4)$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=20-137,6$

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial t}=-117,6$

então a derivada neste ponto vale -117,6. Alternativa 2.