Question

A derivada de uma função pode nos informar onde esta função é crescente ou decrescente. Seja f uma função, então f é crescente em um intervalo se f(x)>0 nele e f é decrescente em um intervalo se f(x)<) nele. Considere a função
f(x)=x^4-2x^2+3, assinale a alternativa correta em relação aos intervalos nos quais é crescente ou decrescente.

Answer 1

Resposta:

Olá!

Atente para as notações:

Função primitiva:

f(x) = $x^4-2x^2 +3$

Primeira derivada de f(x)

f'(x) = 4x³ - 4x

1o. derivamos a função f(x) dada. Já obtemos acima.

f'(x) = 4x³ - 4x

Observe que o coeficiente do maior expoente de x de f'(x) é positiva. Significa que a função é crescente. Mas por se tratar de uma curva, a primitiva f(x) terá pontos de máximo e mínimo e, por conseguinte, terá intervalos em que a função é crescente e decrescente. Mas podemos garantir que:

]-oo; a'[ é decrescente

]a ; b[ é crescente

]b ; c[ é decrescente

]c ; +oo[ é crescente

Onde a, b e c são as raízes ordenadas da menor para a maior de f'(x). Obtendo essas raízes da função derivada:

4x³ - 4x = 0

4x (x² - 1) = 0

Raízes de f'(x):

x' = 0

x'' = 1

x''' = -1

Ordenando as raízes:

-1 , 0 , 1

Podemos escrever os pares ordenados onde há pontos de máximo e mínimo.

x = 0

f(0) = $0^4 - 2(0) + 3$

f(0) = 3

Par ordenado (0 , 3)

Ponto de máximo.

x = 1

f(1) = 1 - 2 + 3

f(1) = 2

Par ordenado (1 , 2)

Ponto de mínimo

x = -1

f(-1) = 1 - 2 + 3

f(-1) = 5

f(-1) = 2

Par ordenado (-1 , 2)

Ponto de mínimo

Logo:

-oo < x < -1 a função é decrescente

-1 < x < 0 a função é crescente

0 < x < 1 a função é decrescente

1 < x < +oo a função é crescente