Question

A derivada de uma função é definida por: f'(x)= lim->0 f(x+h)-f(x)/h Para o caso, em que estamos calculando em um pondo especifico, a derivada basta substituir o valor em x. Uma função definida como: g(x)= 1/x

a) a derivada no ponto x=1 equivale a 1
b) a derivada no ponto x=1 equivale a -1
c) a derivada no ponto x=1 equivale a -2
d) a derivada no ponto x=1 equivale a zero
e) a derivada no ponto x=1 equivale a 2

Answer 1

A derivada da função g(x)=1/x é dada por:

$g'(x)=- \frac{1}{x^2}$

Pela definição de derivada temos:

$g'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ g'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} }{h} \\ g'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{x-x-h}{x^2-xh} }{h} \\ g'(x)= \lim_{h \to 0} -\frac{1 }{x^2-xh} \\ g'(x)= -\frac{1 }{x^2}$

Para x=1

$g'(x)=- \frac{1}{x^2} \\ g'(1)=-1$

Letra B

Answer 2

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Definição de derivada no ponto

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf f'(p)=\lim_{x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}}}}}}$

$\tt a)~\sf g(1)=\dfrac{1}{1}=1\\\displaystyle\sf g'(1)=\lim_{x \to 1}\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1}\\\displaystyle\sf g'(1)=\lim_{x \to 1}\dfrac{\frac{1-x}{x}}{x-1}\\\displaystyle\sf g'(1)=\lim_{x \to 1}-\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!\!(x-\diagup\!\!\!\!\!\!1)}{x}\cdot\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!\!\!(x-\diagup\!\!\!\!\!\!\!1)}\\\displaystyle\sf g'(1)=-\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{1}=-1\\\sf portanto~a~alternativa~\acute e~falsa.$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf\maltese~alternativa~b}}}}$