Question

A Derivada de uma função apresenta uma sequência de resultados fundamentais na construção da teoria de derivadas e no comportamento gráfico de funções (DESTCH et al.,2020).

Answer 1

Alternativa 3) apenas III e IV são verdadeiras.

I) é falsa  A operação de derivada é um tipo de limite e é geralmente definida como

$f'(a) = lim_{x->a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Repare agora que a definição da derivada possui uma semelhança com uma das representaçõs da função afim (função da reta, linear)

$m=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}\implies y-y_0=m(x-x_0) \implies y=m(x-x_0)+y_0$.

Para a função modulo, podemos reparar pela constur~çao do gráfico que a função modulo é formada por duas retas.

Na parte da esqueda temos a reta y = - x

Na parte da direita temos a reta y = + x

E a inclinação m será -1 (para esquerda) e +1 (para a direita).

para existir a derivada no ponto, precisamos que a derivada à esquerda seja igual à derivada à direita.

e no Ponto x=0 na função módulo, temos como derivadas -1 = +1.

E isto é absurdo. portanto nao existe derivada neste ponto (dizemos que a derivada diverge)

II) é falsa por que se f'(x) é zero para qualquer x, então f(x) tem que ser a função constante f(x)=a (para qualquer x).

Não vou realizar a demonstração, mas darei alguns passos.

As hipóteses são que f(x) é contínua e que f'(x) =0

Usando a definição $f'(a) = lim_{x->a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, voce pode demonstrar por contradição ao assumir f(x) não é constante e portanto $f(x) \neq f(a)$

mas se $f(x) \neq f(a)$ , então teremos uma inclinação e isto significa que $f'(x)\neq0$

Se $f'(x)\neq0$, então a hiótese original (f'(x)=0) sofre contradição.

III) é verdadeira.

Caso já se tenha demonstrado que a derivada de uma função constante é zero, então, basta fazer uso disto.

Duas funções g(x) = f(x) + c terão derivaas iguais por que c' = 0

IV) é verdadeira.

Podemos escrever $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$ como

$\left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\tight|\leq k$

E se aplicar o limite (dentro do modulo) teremos a definição de derivada.