Question

A derivada da função y =x²+3x sobre 3x²+1 é

a) Y= -9x²+3 sobre 9x elevado a 4 +6x²+1
b) Y= 9x²+2x sobre 9x elevado a 4 +6x²+1
c) Y=2x+3 sobre9x²+6x²+1
d) Y=-9x²+2x+3 sobre 9xelevado a 4 +6x²+1

Answer 1

Como temos uma divisão de polinômios, vamos usar a regra do quociente, onde:

$\boxed{(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f(x)'*g(x)-f(x)*g(x)'}{[g(x)]^2}}$

$f(x)=x^2+3x\\\\ g(x)=3x^2+1$

Pela regra da potência, temos que:

$\boxed{f(x)=x^n\rightarrow\ f(x)'=n*x^n^-^1}$

$f(x)'=2*x^{2-1}+3x^{1-1}\\\\ f(x)'=2x^1+3x^0\\\\ \boxed{f(x)'=2x+3}$

$g(x)'=3*2*x^{2-1}+0\\\\ g(x)'=6x^1\\\\ \boxed{g(x)'=6x}$

Agora, aplicando na fórmula:

$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{(2x+3)(3x^2+1)-(x^2+3x)(6x)}{(3x^2+1)^2}\\\\ (\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{(6x^3+2x+9x^2+3)-(6x^3+18x^2)}{9x^4+6x^2+1}\\\\ \boxed{(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{-9x^2+2x+3}{9x^4+6x^2+1}}$

Letra D