Question

A derivada da função f(x) no ponto x=1 é

Answer 1

Para resolver vamos relembrar algumas regras:

Sejam as funções:

$u=v(x) \\v = u(x)$

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

$(ln\ u)' = \frac{u'}{u}$

$(e^u)' = u'e^u$

Assim:

$f(x) = \frac{ln\ x^2}{e^{2x}}$

Derivando:

$f'(x) = \frac{(ln\ x^2)'e^{2x}-(ln\ x^2)(e^{2x})'}{(e^{2x})^2}$

$f'(x) = \frac{\frac{2x}{x^2}e^{2x}-(ln\ x^2)(e^{2x}2x)}{(e^{2x})^2}$

Nesse caso, como desejamos a derivada em x = 1, não precisamos simplificar a função, é mais interessante substituir o valor:

$f'(1) = \frac{\frac{2(1)}{1^2}e^{2(1)}-(ln\ 1^2)(e^{2(1)}2(1))}{(e^{2(1)})^2}$

Aqui, é importante saber que:

$ln(1) = 0$

Assim:

$f'(1) = \frac{2e^{2}-(0)(e^{2}2)}{(e^{2})^2}$

$f'(1) = \frac{2e^{2}}{e^{2(2)}}$

$f'(1) = \frac{2e^{2}}{e^{4}}$

$f'(1) = \frac{2}{e^{2}}$

$f'(1) = 2e^{-2}$