Question

A derivada da função f(x)= -5x^2 . (2x^4+3)^3, é:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{f'(x)= - 560 x^{13} - 1800 x^9 - 1620 x^5-270 x}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função:

$f(x)=-5x^2\cdot(2x^4+3)^3$

Diferenciamos ambos os lados da função em respeito à variável $x$:

$f'(x)=[-5x^2\cdot(2x^4+3)^3]'$

Então, lembre-se que:

• A derivada do produto entre funções é calculada pela regra do produto: $[g(x)\cdot h(x)]'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero, logo $(a\cdot g(x))'=a\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $[g(h(x))]'=h'(x)\cdot g'(h(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.

Aplique a regra do produto

$f'(x)=[-5x^2]'\cdot(2x^4+3)^3+(-5x^2)\cdot[(2x^4+3)^3]'$

Aplique a regra da constante e da cadeia

$f'(x)=-5\cdot[x^2]'\cdot(2x^4+3)^3+(-5x^2)\cdot[(2x^4+3)]'\cdot3\cdot(2x^4+3)^2$

Aplique a regra da soma

$f'(x)=-5\cdot[x^2]'\cdot(2x^4+3)^3+(-5x^2)\cdot([2x^4]'+[3]')\cdot3\cdot(2x^4+3)^2$

Calcule a derivada das potências e da constante

$f'(x)=-5\cdot[x^2]'\cdot(2x^4+3)^3+(-5x^2)\cdot(2\cdot[x^4]'+[3]')\cdot3\cdot(2x^4+3)^2\\\\\\ f'(x)=-5\cdot2x\cdot(2x^4+3)^3+(-5x^2)\cdot(2\cdot4x^3+0)\cdot3\cdot(2x^4+3)^2$

Multiplique os valores

$f'(x)=-10x\cdot(2x^4+3)^3-120x^5\cdot(2x^4+3)^2$

Ao calcularmos as expansões binomiais, obtemos

$f'(x)= - 560 x^{13} - 1800 x^9 - 1620 x^5-270 x$

Esta é a derivada desta função.