Question

A derivada da função F(x)=3x2−5xy+y2=5 é:
y'(x)=6x−5y/5x−2y

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$3x {}^{2} - 5xy + y {}^{2} = 2$

Pelo que eu entendi, a questão deve tratar-se de saber se a afirmativa é verdadeira ou não. Para saber se a derivada dessa equação é o valor informado acima, temos que fazer nós mesmos. Primeiro vamos iniciar derivando todos os termos:

$\frac{d}{dx}3x {}^{2} - \frac{d}{dx} (5xy) + \frac{d}{dx}(y {}^{2} ) = \frac{d}{dx} (2)$

Note que como temos duas incógnitas (x e y) a derivação se dará pelo método da derivação implícita, ou seja, $y = f(x)$, isto é, o y é uma função de "x", então como se trata de uma função composta, sempre que derivarmos "y", temos que multiplicar pela derivada de y em relação a "x", por causa da regra da cadeia.

Sabendo disso, vamos resolver cada derivada separadamente para um melhor entendimento:

• Derivação 1:

Para resolver essa derivada, basta aplicarmos a regra da potência na função:

$\boxed{ \frac{d}{dx}( x {}^{n} ) = n.x {}^{n - 1} \longrightarrow \text{exemplo} : \frac{d}{dx} (x {}^{2} ) = 2.x {}^{2 - 1} = 2x}$

Aplicando essa propriedade:

$\frac{ {d}}{dx} (3x {}^{2} ) = 2.3.x {}^{2 - 1} = 6x$

• Derivação 2:

Essa derivação requer um pouco de atenção, já que será necessário aplicar a regra do produto e a regra da cadeia quando a derivação ocorrer em "y", relembrando a regra do produto:

$\boxed{ \frac{d}{dx} (f(x).g(x) )= \frac{d}{dx}( f(x)).g(x) +x. \frac{d}{dx} (g(x))}$

Aplicando essa propriedade:

$\frac{d}{dx} (5xy) = 5. \left( \frac{d}{dx}(x).y + x. \frac{d}{dx} y \right) \\ \\ \frac{d}{dx} (5xy) = 5y + 5x. \frac{dy}{dx}$

• Derivação 3:

Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia, temos que:

$\frac{d}{dx} (y {}^{2} ) = 2y. \frac{dy}{dx}$

• Derivação 4:

A derivada de uma constante é 0, então:

$\frac{d}{dx}(5) = 0$

Substituindo essas informações na equação:

$6x - 5y - 5x. \frac{dy}{dx} + 2y. \frac{dy}{dx} = 0$

Agora devemos isolar o termo dy/dx:

$- 5x. \frac{dy}{dx} + 2y. \frac{dy}{dx} = - 6x + 5y \\ \\ \frac{dy}{dx} .( - 5x + 2y) = - 6x + 5y \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{ - 6x + 5y}{ - 5x + 2y}$

Para deixar igual ao resultado informado na questão, podemos deixar o -1 em evidência:

$\frac{dy}{dx} = \frac{ - 1.(6x - 5y)}{ - 1.(5x - 2y)} \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{6x - 5y}{5x - 2y} }$

Espero que seja isso