Question

A derivada da função composta f(x)=$\sqrt{10x^{3} - 5x^{2} +2}$ é:

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{30x^2 - 10x}{\sqrt{10x^3 - 5x^2 +2}}$

Explicação passo-a-passo:

Ok, precisamos lembrar da regra da cadeia. Formalmente ela diz que se temos funções compostas $h(x) = f(g(x))$, então

$\dfrac{dh(x)}{dx} = \dfrac{df(g)}{dg} \dfrac{dg(x)}{dx}$.

Significa que se você tem uma função de uma função, por exemplo uma função F que está escrita em termos de uma função G, e essa função G está em termos de uma variável X, para derivarmos F em relação à X, basta derivarmos F em relação à G e multiplicarmos pela derivada de G em relação à X.

Como isso se aplica nessa questão??

nossa função $h(x) = \sqrt{10x^3 - 5x^2 + 2}$ é uma função composta, podemos escrevê-la assim:

$h(x) = \sqrt{g(x)}$

E teremos ainda outra função $f(y) = \sqrt{y}$

Nosso y nesse caso é a própria função g. Ou seja:

$h(x) = f(g(x))$

Então precisamos derivar nossa função pensando primeiro na raiz quadrada e depois no que tem dentro dela:

Vamos chamar $10x^3 - 5x^2 + 2 = u$

Então:

$\dfrac{dh(x)}{dx} = \dfrac{d\sqrt{u}}{du}\dfrac{du}{dx}$

Assim,

$\dfrac{d\sqrt{u}}{du} = \dfrac{1}{\sqrt{u}} = \dfrac{1}{\sqrt{10x^3 -5x^2 +2}}$

Além disso,

$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{d}{dx}(10x^3 -5x^2 +2) = \dfrac{d10x^3}{dx} - \dfrac{d5x^2}{dx} + \dfrac{d2}{dx} = 30x^2 - 10x$

Agora basta multiplicar os dois:

$\dfrac{dh(x)}{dx} = \dfrac{30x^2-10x}{\sqrt{10x^3 -5x^2+2}}$