Question

A densidade de corrente em um condutor cilíndrico de raio R = 1 cm varia ao longo de sua seção transversal de acordo com a equação J = a r, sendo a = 5x10^-6 A/m3 uma constante e r a distância ao eixo central do cilindro. a. Determine a corrente elétrica no fio. b. Determine a corrente elétrica que percorre a região central do cilindro, onde r < R=2.

Answer 1

Resposta:

a) Como a densidade de corrente varia em função do raio do condutor, devemos integrar $J$ em relação à área para calcular a corrente $I$. Logo:

$I= \int_{0}^{R} \vec{J}\vec{dA}$

A área do círculo é $A=\pi r^{2}$. Logo: $\frac{dA}{dr}=2\pi r$. Portanto, a área do elemento infinitesimal de área $dA$ para um cilindro é dado por  

$I= \int_{0}^{R} \vec{J}\vec{dA}\\I= \int_{0}^{R} ar(2\pi r)dr\\I=2\pi a \int_{0}^{R} r^{2}dr\\I=2\pi a [\frac{r^{3}}{3}]$

Como $r$ varia de $0$ a $R$:

$I=2\pi a \frac{R^{3}}{3}\\I=2\pi * 5*10^{-6}*\frac{0,01^{3}}{3}\\I=1,047 *10^{-11} \ A$

b) Como deseja-se calcular a corrente na região central, deve-se integrar de $0$ a $\frac{R}{2}$. Logo:

$I= \int_{0}^{\frac{R}{2}} \vec{J}\vec{dA}$

O elemento infinitesimal de área $dA$ para um cilindro é dado por $dA=2\pi rdr$. Logo:

$I= \int_{0}^{\frac{R}{2}} \vec{J}\vec{dA}\\I= \int_{0}^{\frac{R}{2}} ar(2\pi r)dr\\I=2\pi a \int_{0}^{\frac{R}{2}} r^{2}dr\\I=2\pi a [\frac{r^{3}}{3}]$

Como $r$ varia de $0$ a $\frac{R}{2}$:

$I= 2\pi a \frac{(\frac{R}{2})^{3}}{3}\\I=2\pi a \frac{R^{3}}{24}\\I=2\pi * 5*10^{-6}*\frac{0,01^{3}}{24}\\I=1,30 *10^{-12} \ A$