Question

A demanda de um produto, em milhões de unidades é dada pela função quadrática D(P) = a P² + b p + 36, e a oferta é dada, também em milhões de unidades, pela função afim Q(P) = m P + n, onde, em ambas as funções, P é o preço do produto, em reais. Sabe-se que o preço de equilíbrio do produto é R$ 4,00 e a demanda com este preço é de 36 milhões de unidades. O preço máximo do produto (aquele em que a demanda é zero) é R$ 6,00. O preço mínimo do produto (aquele em que a oferta é zero) é R$ 2,00 e a demanda para este preço é de 48 milhões de unidades.
a) A função oferta do produto, em milhões de unidades, é dada por
Q(P) = ______ P + _______
b) A expressão da função demanda do produto é dada por
D(P) = _______ P ² + ______ P + 36.

Answer 1

As funções são Q(P) = 18P - 36 e também D(P) = -3P³ + 12P + 36.

Temos as seguintes funções:

$D(P) = aP^2 + bP + 36\\Q(P) = mP + n$

Vamos aplicar as condições propostas pelo enunciado da questão. Primeiro o texto diz que o preço de equilíbrio é de 4 reais. O preço de equilíbrio é obtido quando temos uma demanda igual a oferta. Podemos expressar isso da seguinte forma:

$D(P_{equilibrio}) = Q(P_{equilibrio})$

Se esse preço é de 4 reais, então:

$D(4) = Q(4)$

Substituindo as funções nessa relação:

$a*4^2 + b*4 + 36 = m*4 + n\\\\16a + 4b + 36 = 4m + n$

Em seguida vemos que a demanda, para P = 4, é de 36 milhões de unidades, ou seja:

$D(4) = 36\\\\a*4^2 + b*4 + 36 = 36\\\\16a + 4b = 36 - 36 = 0\\\\4*(4a + b) = 0\\\\4a + b = 0\\\\b = -4a$

Logo após isso o enunciado revela que o preço máximo é de 6 reais, e que, nesse preço, a demanda será 0. Matematicamente, temos:

$D(6) = 0\\\\a*6^2 + b*6 + 36 = 0\\\\36a + 6b + 36 = 0\\\\6*(6a + b + 6) = 0\\\\6a + b + 6 = 0$

Substituindo a relação b = -4a nessa, ficaremos com:

$6a + (-4a) + 6 = 0\\\\6a - 4a + 6 = 0\\\\2a + 6 = 0\\\\2a = -6\\\\a = -6/2 = -3$

E, ainda:

$b = -4a = -4*(-3) = 12$

Logo, a nossa função de demanda é:

$D(P) = -3P^2 + 12P + 36$

Agora vamos substituir os valores de a e b naquela primeira expressão que encontramos:

$16a + 4b + 36 = 4m + n\\\\16*(-3) + 4*(12) + 36 = 4m + n\\\\-48 + 48 + 36 = 4m + n\\\\0 + 36 = 4m + n\\\\4m + n = 36\\\\n = 36 - 4m$

Por fim o enunciado diz que o preço mínimo será de 2 reais, e que nesse preço a oferta será 0. Matematicamente:

$Q(2) = 0\\\\m*2 + n = 0\\\\2m + n = 0$

Substituindo n = 36 - 4m, teremos:

$2m + (36 - 4m) = 0\\\\2m - 4m + 36 = 0\\\\-2m + 36 = 0\\\\2m = 36\\\\m = 36/2 = 18$

E, para finalizar:

$n = 36 - 4m = 36 - 4*(18) = 36 - 72 = -36$

Deste modo, a função oferta é:

$Q(P) = 18P - 36$

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