Question

A definição de integral definida é a seguinte:

se f é uma função contínua entre a space minus space b, e este intervalo é dividido em várias partes iguais com largura increment x space equals space fraction numerator left parenthesis b space minus space a space right parenthesis over denominator n end fraction space e x subscript j um número que corresponde ao j-ésimo intervalo, paraspace j space equals space 1 comma space 2 comma space... comma space n. Nessas condições, a integral definida de f em [a, b], descritaintegral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis space d x equals l i m subscript n plus infinity end subscript open square brackets begin inline style sum from j equals 1 to n of end style f left parenthesis x subscript j right parenthesis close square brackets increment x e a função y=f(x) for contínua no intervalo a-b ela será integrável neste intervalo.

Vale salientar que uma integral definida pode assumir valores negativos.

O cálculo da integral definida por causa da sua definição é por muitos pesquisadores um cálculo complexo e as vezes é inviável sua aplicação em algumas funções. Para resolver este problema foi criado o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que : integral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis space d x equals F left parenthesis x right parenthesis open curly brackets table attributes columnalign left columnspacing 1.4ex end attributes row cell x equals b end cell blank row cell x equals a end cell blank end table close equals F left parenthesis b right parenthesis minus F left parenthesis a right parenthesis. Podemos aplicá-lo para determinarmos área de objetos, curvas de gráficos, descobrir valores médios de integrais, etc.

Answer 1

Para calcular o termo médio entre dois pontos da função T(x), precisamos usar a fórmula

$T_{med} = \dfrac{\int_{t_1}^{t_2} T(x)}{\Delta t}$

onde $T_{med}$ é o termo médio, $t_1$ e $t_2$ são a temperatura mínima e máxima, respectivamente, e $\Delta t = t_2 - t_1$.

Calculemos a primitiva da função $T(t) = 3 - \dfrac{2}{3} \cdot (t - 10)^2$.

$\int T(t) = \int 3 \text{ dt} - \int \dfrac{2}{3} \cdot (t - 10)^2 \text{ dt} \\\\ \int T(t) = 3t + C - \dfrac{2}{3} \cdot \int (t - 10)^2 \text{ dt} \\\\ u = t - 10 \rightarrow du = dt \\\\ \int T(t) = 3t + C - \dfrac{2}{3} \cdot \int (u)^2 \text{ du} \\\\ \int T(t) = 3t + C - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{u^3}{3} + C \\\\ \int T(t) = 3t - \dfrac{2 \cdot u^3}{9} + C \\\\ \int T(t) = F(t) = 3t - \dfrac{2 \cdot (t - 10)^3}{9} + C$

Agora, calculando $F(13)$ e $F(15)$:

$F(13) = 3 \cdot 13 - \dfrac{2 \cdot (13 - 10)^3}{9} \\\\ F(13) = 39 - \dfrac{2 \cdot 3^3}{9} = 39 - \dfrac{2 \cdot 27}{9} \\\\ F(13) = 39 -\dfrac{54}{9} = 39 - 6 = 33 \\\\\\ F(15) = 3 \cdot 15 - \dfrac{2 \cdot (15 - 10)^3}{9} \\\\ F(15) = 45 - \dfrac{2 \cdot 5^3}{9} = 45 - \dfrac{2 \cdot 125}{9} \\\\ F(15) = 45 -\dfrac{250}{9} = \dfrac{405 - 250}{9} = \dfrac{155}{9}$

Portanto, $\int_{13}^{15} T(x) = \dfrac{155}{9} - 33 = \dfrac{155 - 297}{9} = -\dfrac{142}{9}$.

Como $\Delta t = 15 - 13 = 2$, então o ponto médio vale

$-\dfrac{142}{9} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{142}{18} \approx -7.88^o$