Question

A definição de integral definida é a seguinte: se é uma função contínua entre , e este intervalo é dividido em várias partes iguais com largura e um número que corresponde ao j-ésimo intervalo, para. Nessas condições, a integral definida de f em [a, b], descrita e a função y=f(x) for contínua no intervalo a-b ela será integrável neste intervalo. Vale salientar que uma integral definida pode assumir valores negativos. O cálculo da integral definida por causa da sua definição é por muitos pesquisadores um cálculo complexo e as vezes é inviável sua aplicação em algumas funções. Para resolver este problema foi criado o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que : . Podemos aplicá-lo para determinarmos área de objetos, curvas de gráficos, descobrir valores médios de integrais, etc. Neste contexto, imaginemos a seguinte situação: A temperatura da cidade do Rio de Janeiro, édada pela função: T(t) =, onde o intervalo de tempo considerado para esta função é 0h01min e 23h 59min. Qual seria o procedimento para determinar-mos a temperatura média entre o período da tarde entre 13h e 15h? Descreva o procedimento para resolver este problema bem como o resultado da temperatura.

Answer 1

Olá!

Nós sabemos que quando queremos calcular uma média de vários dados, devemos soma-los e depois dividi-los pelo número de dados disponíveis.

Ex: Valores {1,3,9,4,5}

A média é:

$\frac{1+3+9+4+5}{5} = 4,4$

Nessa questão não é diferente, o problema que é que só temos a fórmula que corresponde a temperatura em determinado tempo, nós não temos todos os valores da temperatura de 13h até as 15h, mas podemos utilizar a integral para achar a soma das temperaturas nesse intervalo.

Como os minutos são importantes, não vamos considerar o tempo em horas.

13h -> 780 min

15h -> 900 min

Sabendo que a função da temperatura em função do tempo é: $T(t)=3-\frac{2}{3(t-10)^2}$, para calcular a soma das temperaturas entre 780 e 900 min basta resolver a seguinte integral:

$\int _{t_1}^{t_2}\:\left(T(t)}\right)dt$

$\int _{780}^{900}\:\left(3-\frac{2}{3\left(t-10\right)^2}\right)dt$

$\int _{780}^{900}3-\frac{2}{3\left(t-10\right)^2}dt=\frac{12335396}{34265}$

Agora que já temos a soma, basta dividir pelo tempo total e será achado a temperatura média.