A definição de Espaço Vetorial é uma das mais significativas no estudo da Álgebra Linear. Para que um conjunto de vetores possa receber a denominação de Espaço Vetorial, definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, esse conjunto deve satisfazer uma série de axiomas.
O número de axiomas que devem ser satisfeitos são:
Escolha uma:
5 axiomas
8 axiomas
6 axiomas
7 axiomas
Soluções para a tarefa
Como o enunciado disse "definidas as operações e multiplicações por escalar, esse conjunto ( de vetores ) deve satisfazer uma série de axiomas". Sendo assim, vamos ver os axiomas separadamente, o da adição e o da multiplicação por escalar.
Adição:
1 ) A soma de dois vetores é ASSOCIATIVA, ou seja ( u + v ) + w = u + ( v + w ), ∀ u, v, w ∈ V. Esse V denominamos como sendo o espaço vetorial real.
2 ) COMUTATIVA, ou seja, u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V
3 ) A existência de um elemento neutro, onde 0 ∈ V, ∀ u ∈ V, u + 0 = u.
4 ) A existência de um vetor oposto a u, ou seja, u + ( - u ) = 0.
Multiplicação:
1 ) ( β + α ) u = β u + α u
2 ) ( βα ) u = α ( βu )
3 ) 1 u = u
4 ) β ( u + v ) = β u + β v
Cabe destacar que β e α pertence aos reais, e u,v ao espaço vetorial V.
No total: 8 axiomas.