Question

a declividade de uma recta que passa por A(3;2) e 3/4. localizar dois pontos dessa recta, situados a 5 unidades de A

Answer 1

■ Equação da Reta t que passa por A(3,2):

• Nota 1: equação geral da reta é dada por ax + by + c = 0 
• Nota 2: equação reduzida da reta é dada por y = ax + b

(y - yo) = m(x - xo)

(y - 2) = 3/4(x - 3)

y = -(1/4)+((3 x)/4) 

3x/4 - y - 1/4 = 0  → equação geral da reta t

■ Coeficiente angular da reta perpendicular p que passa por A(3,2) é dado por: mt * mp = -1 ⇔ 3/4 * mp = - 1 ⇔ mp = -1/(3/4) = -4/3

(y - yo) = mp(x - xo) 

(y - 2) = -4/3(x - 3)

y = 6 - (4x)/3 

-4x/3 -y + 6 = 0 → equação geral da reta p perpendicular a reta t

■ Vamos usar agora distância duas retas paralelas:
 • Nota 3: d(r, r') = |c - c'|/√(a² + b²)

Então, queremos duas retas r e r' que interceptem t em dois pontos  B e C tal que a distancia dAB = dAC = 5 e ainda, B e C, obviamente estão na reta t.


d(p,r) = 5 = |(6 - c')|/√((-4/3)² + (-1)²) 

5 = |(6 - c')|/√(16/9) + 1)

5 = |(6 - c')|/√(25/9)

5 = |6 - c'| / 5/3

|6 - c'| = 25/3 ⇔ ■ 6 - c' = 25/3 ⇔ 18 - 3c' = 25 ⇔ c' = -7/3
|6 - c'| = 25/3 ⇔ ■ 6 - c' = -25/3 ⇔ 18 - 3c' = -25 ⇔ c' = 43/3 

Escrevendo as equações das paralelas a p que distam de p  5 unidades
• r: -4x/3 -y -7/3 = 0 ⇒ y = -4x/3 - 7/3
• r': -4x/3 -y + 43/3 = 0 ⇒ y = -4x/3 +43/3

■ Agora determinemos os pontos B e C que distam de A 5 unidades e ainda, ambos pertencem a t.

■ r' ∩ t = C ⇒ -4x/3 + 43/3 = 3x/4 - 1/4 ⇔ x = 7
Então, y = 3x/4 - 1/4 ⇔ y = 5
• C = (7 ; 5)

■ r ∩ t =  ⇒ -4x/3 - 7/3 = 3x/4 - 1/4 ⇔  x = -1
Então, y = 3x/4 - 1/4 ⇔ y = -1
• B = (-1 ; -1)

Portanto os pontos procurados são: B = (-1,-1) e C = (7,5)

Segue anexo um gráfico das retas

Espero ter ajudado.

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08/10/2016
Sepauto 
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