Question

: a) De quantas formas distintas é possível distribuir 12 pessoas em 4 grupos de 3?b) Para o sorteio das chaves de um torneio de vôlei é preciso distribuir duas equipes em 4 chaves(grupos) de 3, sendo que, para cada grupo, há um cabeça de chave preestabelecido. De quantas formas isso pode ser feito?

Answer 1

Nota Importante:

 Vc não indica se dentro de cada grupo a “ordem” é importante (se há diferença nos lugares que ocupam) … o texto do exercício não indica …logo penso que não há!!

 Mas note que se fosse a “distribuição” de 12 pessoas em 4 grupos de 3 camas (por exemplo apenas) …já teria de considerar a permutação interna de cada grupo …na ocupação das varias camas ..ok?

 

..Deste modo o raciocínio será apenas:  “distribuir” as 12 pessoas agrupadas “3 a 3” pelos 4 grupos.

 

Donde teremos:

 ..Para o primeiro grupo as possibilidades definidas por: C(12,3)

 ..Para o segundo grupo as possibilidades definidas por: C(9,3) …note que 3 pessoas já ficaram no 1º grupo.

 ..Para o terceiro grupo grupo as possibilidades definidas por: C(6,3) …note que 6 pessoas já ficaram nos 1º e 2º grupos.

 ..Para o quarto grupo grupo as possibilidades definidas por: C(3,3) …note que 9 pessoas já ficaram nos 1º, 2º e 3º grupos.

 

Assim o número (N) de maneiras (distintas) de “distribuir” 12 pessoas por 4 grupos de 3 será dado por:

 

N = C(12,3) . C(9,3) . C(6,3) . C(3,3)

N = (12!/3!(12-3)!) . (9!/3!(9-3)!) . (6!/3!(6-3)!) . (3!/3!(3-3)!)

N = (12!/3!9!) . (9!/3!6!) . (6!/3!3!) . (3!/3!0!)

N = (12.11.10.9!/3!9!) . (9.8.7.6!/3!6!) . (6.5.4.3!/3!3!) . (1)

N = (12.11.10/3!) . (9.8.7/3!) . (6.5.4/3!) . (1)

N = (12.11.10/6) . (9.8.7/6) . (6.5.4/6) . (1)

N = (12.11.10/6) . (9.8.7/6) . (5.4) . (1)

N = (1320/6) . (504/6) . (20) . (1)

N = (220) . (84) . (20) . (1)

N = 369600   ….número de maneiras distintas

 

Observação: como alertei no inicio do exercício se os lugares dentro de cada grupo tiverem alguma diferença …é necessário considerar a permutação interna da cada grupo e aí o número (N) seria dado por:

 

N = [3! . C(12,3)] . [3! . C(9,3)] . [3!. C(6,3)] . [3!C(3,3)] …ok??