Question

A construção de uma ponte como a do desenho abaixo pode ser realizada através dos cálculos obtidos de uma função quadrática f:R-->R definida por f(x)=ax²+bx+c. Considere que a função quadrática utilizada para construir a ponte seja f(x) = -0.5x2 +2x + 2. Determine as coordenadas dos pontos A, B e C ilustrados na figura.

Answer 1

As coordenadas dos pontos A, B e C são: A = (2 - 2√2,0), B = (2 + 2√2,0) e C = (2,4).

De acordo com a figura, os pontos A e B correspondem às raízes da função quadrática.

Para calcularmos tais raízes, utilizaremos a fórmula de Bhaskara. Sendo f(x) = -0,5x² + 2x + 2, temos que:

Δ = 2² - 4.2.(-0,5)

Δ = 4 + 4

Δ = 8

Como Δ > 0, então de fato a função possui duas raízes reais distintas:

$x=\frac{-2+-\sqrt{8}}{2.(-0,5)}$

x = -(-2 +- 2√2)

x' = -(-2 + 2√2) = 2 - 2√2

x'' = -(-2 - 2√2) = 2 + 2√2.

Logo, temos que A = (2 - 2√2,0) e B = (2 + 2√2,0).

O ponto C representa o ponto máximo, que é o vértice da parábola.

O vértice da parábola é definido por: $V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$.

Portanto,

$V=(-\frac{2}{2.(-0,5)},-\frac{8}{4.(-0,5)})$

V = (2, 4)

ou seja, C = (2,4).