(a) Considere que a equação x = At^3 + Bt descreve o movimento de um
objeto, com x tendo a dimensao de comprimento e t, a dimensao de tempo. Determine as dimensoes das constantes A e B.
(b) Determine as dimensoes da
derivada dx/dt = 3At2 + B.
Soluções para a tarefa
Fazendo a analise dimensional das equações, temos que:
a) A é arranque, B é velocidade.
b) A é arranque, B é velocidade.
Explicação:
a) Considere que a equação x = At^3 + Bt descreve o movimento de um objeto, com x tendo a dimensao de comprimento e t, a dimensao de tempo. Determine as dimensoes das constantes A e B.
Quando fazemos analise dimensional, os dois lados devem ter a mesma unidade de medida termo a termo, ou seja, no caso da equação:
x = At^3 + Bt
Tanto x, quanto At^3, quanto Bt devem ter a mesma medida, que no caso é de comprimento.
Assim vamos analisar At^3:
A.t^3 = [L]
[A]. [T]³ = [L]
[A] = [L][T]⁻³
Assim temos que a dimensão de A é de comprimento por tempo ao cubo, também chamado de Arranque.
Agora vamos ver B:
B . t = [L]
[B] . [T] = [L]
[B] = [L][T]⁻¹
Assim B tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja, velocidade.
(b) Determine as dimensoes da derivada dx/dt = 3At2 + B.
Vemos que o lado esquerdo da equação é dimensão de espaço sobre tempo, ou seja, velocidade, então vamos aos termos:
[B] = [L][T]⁻¹
B é velocidade também pois ele está sozinho, então ele em si deve ser velocidade.
3.A.t² = [L][T]⁻¹
[A].[T]² = [L][T]⁻¹
Note que constantes como 3 não tem dimensão então elas não importam:
[A] = [L][T]⁻³
Assim temos que este A também tem dimensão de Arranque.