Question

a)Considere os vetores V = (3,0,−4) e W = (3√3, 5, −4√3). Encontre os vetores de norma igual a 5 que sejam ortogonais aos vetores V e W simultaneamente.

b) Seja U um vetor paralelo ao vetor W do exercicio anterior e que forma uma ˆangulo obtuso com o vetor V do exercicio anterior. Sabendo que o paralelogramo determinado por U e V tem area igual a 100 u.a., encontre o vetor U. Justifique sua resposta.

Answer 1

a) Seja $U=(x,y,z)$ o vetor que atende às condições do enunciado. Então:

$\bullet~U\cdot V =0:\\\\ (x,y,z)\cdot(3,0,-4)=0\\\\\ 3x-4z=0\Longrightarrow \boxed{z=\dfrac{3}{4}x}$

$\bullet~U\cdot W =0:\\\\ (x,y,z)\cdot(3\sqrt3,5,-4\sqrt3)=0\\\\\ 3\sqrt3x+5y-4\sqrt3z=0\\\\ 3\sqrt3x+5y-4\sqrt3\cdot\left(\dfrac{3}{4}x\right)=0\\\\ 3\sqrt3x+5y-3\sqrt3x=0\\\\ 5y=0\Longrightarrow \boxed{y=0}$

Desse modo, U é da forma (x, 0, 3x/4). Usando que sua norma é igual a 5:

$||U||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\\ 5=\sqrt{x^2+0^2+\left(\dfrac{3}{4}x\right)^2}\\\\ 5=\sqrt{x^2+\dfrac{9}{16}x^2}\\\\ 5=\sqrt{\dfrac{25}{16}x^2}\\\\ 5=\dfrac{5}{4}|x|\Longrightarrow |x|=4\Longrightarrow \boxed{x=\pm 4}$

Portanto, os possíveis vetores são (4, 0, 3) e (-4, 0, -3).

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b) Como U é paralelo ao vetor W, podemos escrever que:

$U=tW,~~t\in\mathbb{R}\\\\ U=(3\sqrt3t,\,5t,\,-4\sqrt3t)$

Agora, vamos tentar usar o dado de que o ângulo entre U e V é obtuso:

$U\cdot V = ||U||||V||\cos(\theta)\\\\ (3\sqrt3t,\,5,\,-4\sqrt3t)\cdot(3,\,0,\,-4)=\\\\=\sqrt{(3\sqrt3t)^2+(5t)^2+(-4\sqrt3t)^2}\cdot\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}\cdot\cos(\theta)\\\\ 9\sqrt3t+16\sqrt3t=\sqrt{27t^2+25t^2+48t^2}\cdot\sqrt{9+16}\cdot\cos(\theta)\\\\ 25\sqrt3t=\sqrt{100t^2}\cdot\sqrt{25}\cdot\cos(\theta)\\\\ 25\sqrt3t=\underbrace{10|t|}_{||U||}\cdot\underbrace{5}_{||V||}\cdot\cos(\theta)\\\\ \cos(\theta)=\dfrac{\sqrt3}{2}\dfrac{t}{|t|}$

Para que o ângulo seja obtuso, o valor do cosseno deve ser negativo. Note que o termo t/|t| nos dá apenas o sinal de t e define o sinal da expressão acima. Por essa razão, temos que t/|t| = -1, o que confere sinal negativo ao cosseno:

 $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}$

A área do paralelogramo determinado por dois vetores pode ser calculado como a norma do produto vetorial entre eles. Se θ é o ângulo entre U e V:

$A=||U\times V||\\\\\ A=||U||||V||\sin(\theta)\\\\ 100 = ||(3\sqrt3t,\,5t,\,-4\sqrt3t)||||(3,0,-4)||\sin(\theta)\\\\ 100 = \sqrt{(3\sqrt3t)^2+(5t)^2+(-4\sqrt3t)^2}\cdot\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}\cdot\sin(\theta)\\\\ 100 = \sqrt{27t^2+25t^2+48t^2}\cdot\sqrt{9+0+16}\cdot\sin(\theta)\\\\ 100 = \sqrt{100t^2}\cdot\sqrt{25}\cdot\sin(\theta)\\\\ 100 = 10|t|\cdot5\cdot\sin(\theta)\\\\ 2 = |t|\sin(\theta)$

Pelo Teorema Fundamental da Trigonometria: 

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\\\ \sin^2\theta +\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2=1\\\\ \sin^2\theta + \dfrac{3}{4}=1\\\\ \sin^2\theta = \dfrac{1}{4}\\\\ \sin\theta = \pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\Longrightarrow \sin\theta = \pm\dfrac{1}{2}$

Como o ângulo é obtuso, o seno deve ser igual a 1/2. Com efeito:

$2 = |t|\sin(\theta)\\\\ 2 = |t|\cdot\dfrac{1}{2}\\\\ |t| = 4\Longrightarrow t = -4$

Já que tínhamos visto que o sinal de t era negativo. Portanto, o vetor U é:

$U=(3\sqrt3t,5t,-4\sqrt3t)\\\\ U=(3\sqrt3\cdot(-4),5\cdot(-4),-4\sqrt3\cdot(-4))\\\\ \boxed{U = (-12\sqrt3,\,-20,\,16\sqrt3)}$

Isto é, U = (-12√3, -20, 16√3).