Question

a)Considere o polinômio p(x)=2x^4−5x^3+4x^2−5+2, x∈ℝ.
Fatore p(x) como produto de fatores lineares (ou seja, tipo ax+b) e/ou fatores quadráticos irredutíveis em ℝ (ou seja, tipo ax^2+bx+c, que não possui raízes reais). Justifique a sua fatoração, deixando claro como encontrou as raízes.

b)Considere a função f(x)=p(x)/(x+2)^3(2x−1)^3 , onde p(x) é o polinômio do item (a).
Determine o domínio de f(x), simplifique f(x) e analise o sinal de f(x). Analisar o sinal de uma função significa determinar os valores de ∈ℝ para os quais f(x)=0, f(x)>0 e f(x)<0. Essa análise de sinal deve ser justificada!
Dê a resposta da análise de sinal da seguinte forma:
f(x)=0 se x ∈ A.
f(x)>0 se x ∈ B.
f(x)<0 se x ∈ C.
onde A,B, C são subconjuntos dos reais escritos na forma de pontos, de intervalo e/ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum).

c) Consider

Answer 1

a) Sendo p(x) = 2x⁴ - 5x³ + 4x² - 5x + 2, então as possíveis raízes de p(x) são os divisores do termo independente, ou seja, divisores de 2:

-1, +1, -2 ou +2.

Perceba que 2 é uma raiz de p(x).

Então, utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, podemos escrever p(x) da seguinte maneira:

p(x) = (x - 2)(2x³ - x² + 2x - 1)

Agora, perceba que 1/2 é raiz de 2x³ - x² + 2x - 1.

Utilizando novamente o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos que:

p(x) = (x - 2)(x - 1/2)(2x² + 2)

p(x) = (x - 2)(x - 1/2)2(x² + 1)

p(x) = (x - 2)(2x - 1)(x² + 1)

Como x² + 1 não possui raízes reais, então a forma fatorada de p(x) é p(x) = (x - 2)(2x - 1)(x² + 1).

b) Escrevendo f(x):

$f(x) = \frac{(x-2)(2x-1)(x^2+1)}{(x+2)^3(2x-1)^3}$

Simplificando:

$f(x) = \frac{(x-2)(x^2+1)}{(x+2)^3(2x-1)^2}$

Sendo assim, temos que:

f(x) = 0

$\frac{(x-2)(x^2+1)}{(x+2)^3(2x-1)^2} = 0$

(x - 2)(x² + 1) = 0

x = 2

Ou seja, f(x) = 0 se x = 2.

f(x) > 0

$\frac{(x-2)(x^2+1)}{(x+2)^3(2x-1)^2} > 0$

x > 2 ou x < -2

Ou seja, f(x) > 0 se x ∈ (-∞,-2) U (2, ∞).

f(x) < 0

$\frac{(x-2)(x^2+1)}{(x+2)^3(2x-1)^2} < 0$

-2 < x < 1/2 ou 1/2 < x < 2

Ou seja, f(x) < 0 se x ∈ (-2,1/2) ∪ (1/2,2).

O domínio de f(x) será todos os reais, sendo x ≠ -2 e x ≠ 1/2.