Question

A cônica e sua equação reduzida representada pela equação 4x^2+9y^2-8x-36y+4=0 são respectivamente:

Answer 1

Completando quadrados e manipulando a equação encontramos a forma reduzida: $\frac{(x-1)^2}{3^2}+\frac{(y-2)^2}{2^2}=1$

Explicação passo-a-passo:

Para resolver esta equação, vamos primeiro agrupar os termos de x e y juntos:

$4x^2+9y^2-8x-36y+4=0$

$(4x^2-8x)+(9y^2-36y)+4=0$

Agora dentro de cada parentese, vamos completar quadrados:

$(4x^2-8x)$

Vemos que se esta equação for uma quadrado perfeito ela deve se encaixar no modelo:

$(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2$

Comparando esta equação com o modelo, vemos que:

a^2 = 4

a = 2

e

b = -2

Então a equação:

$(4x^2-8x)$

Deveria ser escrita na forma:

$(2x-2)^2$

Porém falta o terceiro termo que deveria ser b², que seria 4, então para que ela obedeça tal equação vamos somar e subtrair este 4 da equação:

$(4x^2-8x+4-4)$

$(4x^2-8x+4)-4$

Agora o pedaço dentro do parenteses é de fato um quadrado perfeito e podemos substituir:

$(4x^2-8x+4)-4$

$(2x-2)^2-4$

Então voltando a equação completa:

$(4x^2-8x)+(9y^2-36y)+4=0$

$(2x-2)^2-4+(9y^2-36y)+4=0$

$(2x-2)^2+(9y^2-36y)=0$

Ainda falta o parenteses de Y para completar quadrado:

$(9y^2-36y)$

Da mesma forma, comparando com a equação de quadrado perfeito vemos que:

a² = 9

a = 3

e

b = -6

Então o quadrado perfeito seria:

$(3y-6)^2$

Mas falta o terceiro termo que seria b², que seria 36, então vamos somar e subtrair 36 nesta equação:

$(9y^2-36y)$

$(9y^2-36y+36-36)$

$(9y^2-36y+36)-36$

Agora o parenteses é um quadrado perfeito:

$(9y^2-36y+36)-36$

$(3y-6)^2-36$

Substituindo na equação completa:

$(2x-2)^2+(9y^2-36y)=0$

$(2x-2)^2+(3y-6)^2-36=0$

$(2x-2)^2+(3y-6)^2=36$

Note que dentro do parentese de x podemos coloca 2 em evidência, e dentro de y, 3 em evidência:

$(2x-2)^2+(3y-6)^2=36$

$(2(x-1))^2+(3(y-2))^2=36$

$4(x-1)^2+9(y-2)^2=36$

Passando o 36 dividindo o lado esquerdo da equação:

$4(x-1)^2+9(y-2)^2=36$

$\frac{4(x-1)^2}{36}+\frac{9(y-2)^2}{36}=1$

$\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1$

$\frac{(x-1)^2}{3^2}+\frac{(y-2)^2}{2^2}=1$

Esta é a forma reduzida da equação, note que ela é uma elipse de semi-eixo maior igual a 3 e semi-eixo menor igual a 2, e o centro da elipse é (1,2).