Question

A congruência linear 2x≡3 (mód.5) tem como uma de suas soluções:

Answer 1

Olá!
 
     Note que 2x tem que ter o mesmo resto que 3 na divisão por 5, isto é, resto 3. Perceba também que para   $x=4$   temos que   $2x=8$   que tem resto 3 na divisão por 5. Então, uma das soluções é   $x=4.$  



Bons estudos!

Answer 2

Resposta:   $x=5n+4$

com n inteiro, ou em notação de congruência,

     $x\equiv 4~~\mathrm{(mod~}5).$

Explicação passo a passo:

Resolver a equação congruência linear

     $2x\equiv 3~~\mathrm{(mod~}5)\qquad\mathrm{(i)}$

Em aritmética modular, não podemos dividir diretamente por 2 para isolar o x, então nesse caso devemos encontrar sua classe inversa, módulo 5.

Como mdc(2, 5) = 1, basicamente, nos fazemos a seguinte pergunta:

Por qual número devemos multiplicar o 2 para que o resultado dessa multiplicação deixe resto 1 quando dividido por 5?

Observamos que $3\cdot 2=6=5+1.$ Logo o 3 é um representante da classe inversa do 2, módulo 5, ou seja

     $3\cdot 2\equiv 1~~\mathrm{(mod~}5)\qquad\mathrm{(ii)}$

Assim, multiplicando os dois lados da congruência (i) por 3, temos:

     $\Longrightarrow\quad 3\cdot 2x\equiv 3\cdot 3~~\mathrm{(mod~}5)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (3\cdot 2)x\equiv 9~~\mathrm{(mod~}5)\\\\ \overset{\mathrm{(ii)}}{\Longleftrightarrow}\quad 1x\equiv 9=5+4\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 4~~\mathrm{(mod~}5)$

Portanto, as soluções para a equação congruência linear são da forma

     $x=5n+4\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta}$

com n inteiro.

Bons estudos!